2.2.Birinchi tartibli giperbolik tenglamalar sistemasini taqribiy yechish
Faraz qilaylik, egri chiziq tekisligida (2.1.1) sistemaning berilgan yechimga mos keladigan harakteristika bo’lsin. egri chiziqda determinantga mos ravishda 1- va 2- ustunlarini ozod hadlar bilan almashtirish natijasida hosil bo’lgan va determinantlar ham nolga aylanishi kerak. Shunday qilib, egri chiziqda quyidagi uchta munosabat bilan bog’langan:
Ammo bu shartlar o’zaro erkli emas. (2.2.1) sistema giperbolik bo’lganligi uchun demak, determinantning ustunlari orasida chiziqli bog’lanish mavjud. Shuning uchun ham va shartlarning birida ikkinchisi kelib chiqadi. Biz bu shartlardan asosiysi sifatida
(2.2.1)
ni olamiz. Shunday qilib, xarakteristikada , yechim harakteristika tenglamalari deb ataluvchi ikkita (2.2.1) shartlar bilan bog’langan. Bulardan birinchisi harakteristika yo’nalishining tenglamasi, ikkinchisi esa xarakteristika ustida differensial munosabat deyiladi.
Shuni ta’kidlashimiz kerakki, agar biz xarakteristikani emas, xarakteristik egri chiziqni qarasak, u holda u (2.1.1) sistemaning bir necha yechimiga tegishli bo’lishi mumkin. Agar yechimning uzluksiz differensiallanuvchi bo’lishidan voz kechsak, u holda yechim uzluksiz bo’la turib, birinchi xosilalar faqat xarakteristika bo’ylab uzilishga ega bo’lishi mumkin. Bunday yechimlarni quyidagicha topish mumkin:
Faraz qilaylik, va lar (2.1.1) sistemaning ikkita yechimi bo’lib, ular soxada uzluksiz hosilaga ega bo’lishsin, esa har ikkala yechimga tegishli bo’lgan xarakteristik egri chizikding tekisligidagi proyeksiyasi bo’lsin. Quyidagi yechimni qaraymiz:
Bu yechim soxada uzluksiz, ammo sohada hosilalari uzilishga ega.
Yuqoridagilardan quyidagi xulosaga kelamiz: xarakteristikalar yo’nalishlarining tenglamalari quyidagilardan iborat:
(2.2.2)
Bunda va
(2.2.3)
Tenglamaning ildizlari. Xarakteristikalar ustidagi differensial munosabatlar
(2.2.4)
yoki
(2.2.5)
dan iboratdir, bu yerda
, ,
(2.2.6)
,
Shuni ta’kidlash kerakki, agar (2.1.1) sistema chiziqli yoki yarim chiziqli bo’lsa. ya’ni koeffitsientlar ga bog’liq bo’lmasa, u holda va lar ham ga bog’liq bo’lmay, (2.2.2) sistema quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
Bunday harakteristikanni tekisligida yechimga bog’liq bo'lmagan holda topish mumkin. Kvazichiziqli bo’lgan holda harakteristikalar yechimga bog’liq bo’lib, harakteristikalar turini qurish bilan bu to’r tugunlarida yechimlarning qiymatini toppish bir vaqtda olib borilishi kerak.
|
