2.1 Kvazigiperbolik differensial tenglamalar sistemasi
Kvazigiperbolik differensial tenglamalar sistemasi xarakteristikalarining tenglamalari. Maʼlumki, har qanday xususiy hosilali differensial tenglamalarni almashtirishlar bajarish natijasida unga teng kuchli bulgan birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasiga keltirish mumkin. Ko’p jixatdan bunday sistemalar nazariy urganishda ham, takribiy yechishda ham maʼ lum afzalliklarga egadir.
Yozuv murakkab bo’lmasligi va asosiy g’oya tushunarli bo’lishi uchun ikkita birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasini qaraymiz:
(2.1.1)
Bu yerda
funksiyalar o’zgaruvchilarning biror o’zgarish soxasida uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalardir. Bunday sistemalar kvazichiziqli deyiladi. Agar koeffitsiyentlar faqat va ga bog’liq bo’lsa, u xolda (2.1.1) sistema yarim chiziqli deyiladi. Agar,bundan tashqari, va lar va ga nisbatan chiziqli funksiya bo’lsa, u holda (2.1.1) sistema chiziqli sistema deyiladi.
Kvazichiziqli sistemalar ko’pincha gazodinamika masalalarida uchraydi.
Faraz qilaylik soha tekislikda yotsin va funksiyalar (2.1.1) sistemaning sohada uzluksiz differensiallanuvchi yechimi bulib, esa soxada joylashgan karrali nuqtalarga ega bo’lmagan silliq, egri chiziq, bo’lsin.
Biz bu yerda va yechimning ustidagi qiymatiga ko’ra (2.1.1) sistemadan foydalanib ustida hususiy hosilalarning qiymatini aniqlash masalasini qaraymiz.
Avvalo, (2.1.1) sistemadan ko’ramizki, egri chiziq ustida xususiy hosilalarning qiymatlari
(2.1.2)
Munosabatlarni va egri chiziq ustida
(2.1.3)
differensial munosabatlarni qanoatlantiradi. Shunday qilib, larni aniqash uchun to’rtta birinchi tartibli chiziqli tenglamaga ega bo’lamiz.
Endi ustida deb faraz qilib, (2.1.3) ni
(2.1.4)
Ko’rinishida yozib olamiz va (2.1.3) va (2.1.4) munosabatlardan va ni yo’qotamiz, natijada va ga nisbatan quyidagi sistemani hosil qilamiz.
(2.1.5)
Agar bu sistemadan va ni toppish mumkin bo’lsa, u holda (2.1.4) dan va ni topamiz. Biz ustida deb faraz qilgan edik, aks holda bo’lib, (2.1.4) ni o’rniga
(2.1.6)
Munosabatlarga ega bo’lamiz va (2.1.5) ni o’rniga
(2.1.7)
sistemaga ega bo’lamiz. (2.1.5) va (2.1.7) sistemalarning aniqlovchilari faqat ishorasi bilan farq qilishi mumkin. (2.1.5) sistemaning determinantini orqali belgilaymiz:
(2.1.8)
Bu yerda ikki holni qaraymiz:
determinant egri chiziqni birorta nuqtasida ham nolga aylanmaydi;
determinant egri chiziq ustida aynan nolga teng.
Birinchi holda (2.1.5) sistema va ga nisbatan yagona yechimga ega, demak, egri chiziqning har bir nuqtasida va larning dagi qiymatlari hamda (2.1.7) sistema bo’yicha bu funksiyalarning xususiy hosilalarini toppish mumkin.
Ikkinchi holda (2.1.1) sistemaning yechimi mavjud deb faraz qilganligimiz uchun (2.1.5) sistema o’rindosh bo’lishi kerak. Ammo bo’lganligi uchun (2.1.5) sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Shunday qilib, ikkinchi holda , larning ustidagi qiymatlari bo’yicha yechimlarning xususiy xrsilalarini ustida bir qiymatli ravishda aniqdab bo’lmaydi. egri chiziq, bilan yechimning bu egri chizik, bo’ylab olingan qiymati birgalikda (2.1.1) sistemaning ( ) fazodagi xarakteristik egri chizig’i deyiladi. Bu egri chiziq, bo’ylab (2.1.1) sistemaning yechimi tarmoqlanishi mumkin. xarakteristika xarakteristik egri chiziqning tekisligidagi proyeksiyasi bo’ladi.
xarakteristikaga o’tkazilgan urinmaning o’qi bilan tashkil etgan
burchagining tangensi quyidagi tenglamani qanoatlantiradi:
(2.1.9)
Belgilangan ( ) nuqta bu ga nisbatan kvadrat tenglama bo’ladi. agar bu tenglamaning ildizlari haqiqiy va har hil bo’lsa, u holda (2.1.1) sistema
( ) nuqtada giperbolik sistema deyiladi. Agar bu xususiyat ( ) fazoning biror soxasining har bir nuqtasida o’rinli bo’lsa, u holda (2.1.1) sistema bu sohada giperbolik sistemani tashkil etadi deyiladi. Biz faqat giperbolik sistemalarni qaraymiz.
Ravshanki, (2.1.1) giperbolik sistemaning berilgan , yechimi aniqlangan sohaning har bir nuqtasida (2.1.9) tenglama ikkita haqiqiy har xil yechimga ega bo’lib, ular berilgan yechimga mos keladigan harakteristikalarga o’tkazilgan urinmalarning ikkita yo’nalishini aniqlaydi. Berilgan yechimga mos keladigan (2.1.9) tenglamaning ildizlarini va orqali belgilaymiz (ular va ning funksiyalari bo’ladi), natijada quyidagi ikkita tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:
Bu tenglamalarning har biri sohani to’shovchi bir parametrli egri chiziqlar oilasini- bu tenglamaning integral chiziqlarini tashkil etadi. sohaning har bir nuqtasida oilaning bittagina egri chizig’i o’tadi. (2.1.9) tenglamani birinchi tartibli ikkinchi darajali differensial tenglama sifatida qarasak, u holda (2.1.1) sistemaning berilgan yechimi uchun ikkita bir parametrli egri chiziqlar oilasi yoki xarakteristikalar oilasiga ega bo’lamiz. sohaning har bir nuqtasida har bir oilaning bittagina harakteristikasi o’tadi. Agar (2.1.1) sistema qatʼiy kvazichiziqli bo’lsa, u holda uning xarakteristikasi sistema yechimining tanlanishiga qatʼiy bog’lik, bo’lib, faqat yechim maʼlum bo’lgandagina uni aniqlash mumkin. Chiziqli sistema uchun koeffitsiyentlari, larga bog’liq bo’lmaydi va shuning uchun ham (2.1.9) tenglamadan xarakteristikalarni larga bog’lik, bo’lmagan holda aniqlash mumkin
|
