2.3 Giperbolik tenglamalar sistemasini taqribiy yechishda xarakteristikalar metodi.
tekisligidagi koordinatalari va bilan 1 va 2 nuqtalarni olamiz.(2.3.1-chizma)
(2.3.1-chizma)
Faraz qilaylik, bu nuqtalarda (2.1.1) sistemaning izlanayotgan yechimlarining qiymatlari maʼlum bo’lsin. Ularning 1 va 2 nuqtalardagi qiymatlarini va orqali belgilaymiz. Keyin xarakteristikalarning birinchi oilasiga mansub bo’lib, xarakteristika yo’nalishi bo’yicha yo’nalgan va nuqtadan chiqadigan to’g’ri chiziqni, shuningdek, 2 nuktadan chiqadigan xarakteristikalarning ikkinchi oilasiga tegishli bo’lgan xarakteristika bo’yicha yo’nalgan to’g’ri chiziqni o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziq qanaydir 3-nuqtada kesishadi. Keyin (2.2.2) va (2.2.5) tenglamalarni 1 va 3 nuqtalarni hamda 2 va 3 nuqtalarni birlashtiruvchi chiziqlar bo’yicha integrallaymiz, natijada nomaʼlum koordinatalarni hamda ( ) nuqtadagi yechimning qiymatlari ni topish uchun quyidagi tenglamalarga ega bo’lamiz:
(2.3.1)
(2.3.2)
(2.3.3)
(2.3.4)
Bu integrallarning biror taqribiy metodi bilan hisoblab, taqribiy yechimlarni topib olamiz. Bu yerda ikki metod — Eyler metodining analogi va trapetsiyalar metodining analogini qullash mumkin. Biz shulardan bittasini keltiramiz. Bu metod adabiyotlarda Masso metodi ham deyiladi.
Eyler metodining analogi
Qulay bo’lishi uchun belgilashlarni kiritamiz va ifodalarning nuqtalarning qiymatlari mos ravishda orqali belgilaymiz. Yuqoridagi to’rtburchaklar formulasini qo’llaymiz, natijada larni toppish uchun quyidagi taqribiy chiziqli algebraic tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:
Bu tengliklarning har birining xatoligi bo’lib, bunda . Bu sistemadan topilgan taqribiy qiymatlarning anqligi yetarli bo’lmasligi mumkin. Chunki 1 va 2 nuqtalardan chiqqan xarakteristikalarni to’g’ri chiziqlarning kesmasi bilan almashtirdik, aslida esa ular egri chiziqli xarakteristikalarning kesishish nuqtasi bo’lishi mumkin. Bundan tashqari, egri chiziqli integrallarni to’g’ri chiziq, bo’yicha olingan integral bilan almashtirdik, maʼlumki, bu qo’shimcha xatolikka olib keladi. Shu munosabat bilan larning aniqroq qiymatini topish masalasi tug’iladi. Aniqlashtirishning bir necha usullari bor. Bularning biri quyidagichadir:
Oldin topilgan birinchi yaqinlashish , dan foydalanib, keyingi yaqinlashish sifatida quyidagi o’rta arifmetik sonlar olinadi:
Huddi shunga o’xshash uchun quyidagi miqdorlar aniqlanadi:
(2.3.5)
Bu yerda sonlar determinantlarning birinchi yaqinlashishda topilgan nuqtadagi qiymati; 3- nuqtada izlanayotgan ikkinchi yaqinlashish lar ketma-ket quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan topiladi:
Bu sistemalarning birinchisidan avval koordinatalarning aniqlangan qiymatlarini, keying sistemadan esa izlanayotgan funksiyalarning aniqlangan qiymatlarini topamiz. Agar aniqlik yetarli bo’lmasa, bu iteratsion jarayonni davom ettiramiz. qachonki topilgan ikkita ketma-ket yaqinlashishning qiymatlari kerakli aniqlikda ustma-ust tushsa, jarayonni to’xtatamiz. Agar yetarlicha kichik bo’lsa, odatda, ikkita anikqash yetarli bo’ladi, chunki keyingi yaqinlashishlarda aniqlik oshmaydi. Shunday qilib, maʼlum va nuqtalar bo’yicha uchinchi nuqtani toppish masalasini yechdik. Biz bu metodni (2.1.1) sistema uchun qo’yiladigan har hil masalalarga qo’llashimiz mumkin.
Xulosa
Ushbu kurs ishini yozish davomida men Birinchi tartibli giperbolik tenglamalar sistemasini taqribiy yechishda xarakteristikalar metodi bilan tanishdim. Bu differentsial tenglamalar sistemasi gazodinamika masalalarda qo'llaniladi ekan ya'ni trubalarda gaz bosimini o'lchashda. Shu mavzuda ko'pgina ma'lumotlarga ega bo'ldim va misol ishlash ko’nikmalariga ega o'rgandim.
Aksariyat fizik va mexanik jarayonlarni o‘rganishda ekspremental tatqiqotlar asosan ob’ektni maketlari ustida olib borilgan. Bu tajribalar etarlicha ijobiy natija bermasligi hamda iqtisodiy jihatdan qimmatga tushishi matematik metodlarni qo‘llashga turki bo‘ldi. Natijida, tegishli masalalarni yechishning matematik metodlarini yaratish jadal rivojlandi.
Men bu kurs ishini yozish davomidagi bilim va ko’nikmalarimni kelgusi o’quv jarayonlarimda qo’llashga harakat qilaman.
|
