5 - Teorema . Agar segmentda aniqlangan absolyut uzluksiz funksiyaning hosilasi deyarli har bir nuqtada nolga teng bo`lsa, u holda o`zgarmas songa teng.
Isbot: tenglikni qanoatlantiruvchi nuqtalardan iborat to`plamni bilan belgilab, ixtiyoriy sonni olamiz. Agar bo`lsa, u holda yetarli kichik son uchun
(5)
tengsizlik o`rinli bo`ladi. segmentlar sistemasi Vitali ma`nosida to`plamni qoplaydi. Chunki har bir uchun bo`lib, va yetarli kichik son.
Shuning uchun har ikkisi o`zaro kesishmaydigan, soni chekli va segmentda joylashgan shunday
segmentlar sistemasini tuzishimiz mumkinki, to`plamning bular qoplanmagan qismining tashqi o`lchovi oldindan berilgan ixtiyoriy sondan kichik qilinishi mumkin. segmentdan segmentlarni chiqarib tashlash natijasida hosil bo`lgan oraliqlar
(6)
oraliqlardan iborat bo`lib, bular uzunliklarining yig`indisi dan kichik bo`ladi,chunki
bundan
Endi ning absolyut uzluksizligidan foydalanib, berilgan bo`yicha ni shunday kichik qilib olamizki, uning uchun funksiyaning oraliqlar sistemadagi orttirmalari yig`indisining moduli dan kichik, ya`ni
(7)
bo`lsin.
Ikkinchi tomondan, segmentlarning tuzilishiga ko`ra
bundan:
(8)
chunki
(7) va (8) lardan:
va ni ixtiyoriyligidan
tenglik kelib chiqadi.
Ammo yuqoridagi mulohazlardan xar qanday segment uchun joriy etishimiz mumkin edi. Shuning uchun segmentdan olingan ixtiyoriy uchun ham
ya`ni funksiya o`zgarmas songa teng ekan.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
6-natija: Agar ikki absolyut va funksiyalarning hosilalari va o`zaro ekvivalent bo`lsa, u holda bu funksiyalarning ayirmasi o`zgarmas songa teng bo`ladi.
7-teorema: Lebegning aniqmas integrali absolyut uzluksiz funksiyadir.
Isbot: Lebeg integralining absolyut uzluksizligi haqidagi teoremaga asosan har qanday son mavjudki, agar to`plamning o`lchovi dan kichik, ya`ni bo`lsa, u holda
Xususiy holda, ya`ni o`zaro kesishmaydigan soni chekli oraliqlar sistemasi uzunliklarining yig`indisi dan kichik bo`lsa, u holda
ammo
Bulardan:
ya`ni absolyut uzluksiz. Teorema isbot bo`ldi.
|
