|
–Teorema. Har qanday to`plamning yopilmasi yopiq to`plamdir.
Isbot
|
| bet | 3/10 | | Sana | 21.05.2024 | | Hajmi | 36,95 Kb. | | #248651 |
Bog'liq Kurs ishi mavzu bоrеl–lеbеg tеоrеmasi. Chеgaralangan оchiq va y-fayllar.org (1)5 –Teorema. Har qanday to`plamning yopilmasi yopiq to`plamdir.
Isbot. 2- va 3-teoremalardan bevosita quyidagilarni olamiz:
.
Endi 1 –teoremaga asosan
.
to`plamning yopilmasini bilan belgilaymiz.
6 – Teorema. Har qanday to`plam uchun .
Isbot. 5 –teoremaga asosan to`plam yopiq, ya`ni . Bundan .
7 – Izoh. 4 – natija, umuman, hadlarining soni cheksiz bo`lgan to`plamlar uchun o`rinli emas.
8 – Teorema. Soni chekli yopiq to`plamlarning yig`indisi yopiq to`plamdir.
Bu teorema ikki yopiq to`plamlar uchun isbot etilsa kifoya, chunki ikduksiya yo`li bilan umumiy hol ham shu holga keltirilishi mumkin.
va yopiq to`plamlar bo`lsin. Bu to`plamlarning yopiq ekanligidan va
3 –teoremadan
munosabat kelib chiqadi. Bu esa to`plamning yopiq ekanligini ko`rsatadi.
Lekin hadlarinin soni cheksiz bo`lgan to`plamlar yig`indisi yopiq bo`lmasligi mumkin.
Masalan,
to`plamlarning har biri yopiq to`plamdir. Ammo ularning yig`indisi yarim oraliqqa teng; bu to`plam esa yopiq emas, chunki 1 nuqta bu to`plam uchun limit nuqta bo`lib to`plamning o`ziga kirmaydi.
9 – Teorema. Hadlarining soni ixtiyoriy (ya`ni chekli yoki cheksiz) bo`lgan yopiq to`plamlarning ko`paytmasi yopiq to`plamdir.
Isbot. yopiq to`plam bo`lib, uning indeksi ixtiyoriy quvvatli biror to`plamning elementlari bo`yicha o`zgarsin deylik.
Ushbu
(1)
to`plamni tuzib, uning yopiq ekanligini ko`rsatamiz.
Teoremaning shartiga muofiq har bir uchun to`plam yopiqdir. (1) munosabatdan munosabat bevosita kelib chiqadi. Bundan esa bo`ladi (chunki yopiq). Bu munosabat ixtiyoriy uchun o`rinli bo`lganligi sababli ushbu
munosabat kelib chiqadi. Bu esa to`plamning yopiq ekanini ko`rsatadi.
10 – Teorema. (Kantor). Faraz qilaylik,
chegaralangan, yopiq va bo`sh bo`lmagan to`plamlar ketma – ketligi bo`lsin. Agar bo`lsa, u holda bu to`plamlarning ko`paytmasi bo`sh bo`lmagan yopiq to`plam bo`ladi .
Bu teorema matematik ana lizdagi bir-birining ichiga joylashgan kesmalar haqidagi lemmning umumlashmasidir .
Isbot . to`plamning yopiq ekani 9-teoremadan kelib chiqadi .Agar ning hech bo`lmaganda bitta elementi borligi ko`rsatilsa, teorema isbot etilgan bo`ladi.
Avval (2) ketmaketlikdagi o`zaro teng to`plamlardan bittsini qoldirib ,boshqalarinichiqarib tashlaymiz .buning natijasida to`plam o`zgarmaydi . (2) ketma-ketlikda qolgan to`plamlarni
(3)
Ko`rinishda yozamiz .
Bunda ikki hol bo`lishi mumkin :
(3) ket ma-ketlikdagi to`plamlarning soni chekli .
(3) ket ma-ketlikdagi to`plamlarning soni cheksiz.
Birinchi holda to`plam (3) ket ma-ketlikdagi so`ngi to`plamga teng bo`ladi va teoremaning shartiga muvofiq u bo`sh to`plam bo`lmaydi . demak , bu hol uchun teorema isbot bo`ldi .
Ikkinchi holda to`plamdan to`plamga kirmaydigan elementni olamiz , to`plamdan to`plamga kirmaydigan elementni olamiz va hakozo.
(4)
Elementlar keym-ketligi hosil bo`ladi va elementlarning ixtiyoriy ikkitasi bir-biriga teng emas .
(2) ketma-ketlikdagi to`plamlarning har biri chegaralangan bo`lgani uchun (4)ketma-ketlik ham cheksiz va chegaralangan to`plamni tashkil etadi . Bu to`plamni bilan belgilaymiz .Bal`sano-Veyershtrass teoremasiga asosan to`plamning kamida bitta limit nuqtasi bor .Bu limit nuqtalardan biri bo`sin .Shu limit nuqta to`plamning elementi ekanligini ko`rsatamiz .buning uchun nuqta to`plamning har biriga tegishli ekanligini isbotlah kifoya .
munosabatdan
(5)
Ketma-ketlikning barcha elementlari to`plamga kirishi kelib chiqadi .(5) ketma-ketlikning elementlaridan iborat to`plamni bilan belgilaymiz .
va to`plamlarning farqi elementdan iborat bo`lgani uchun nuqta to`plam uchun ham limit nuqta bo`ladi . Demak , nuqta to`plam uchun ham limit nuqta bo`ladi ,chunki .Lekin yopiq to`plam bo`lganligi uchun , ya`ni nuqta (2) ketma-ketlikdan olingan ixtiyoriy to`plamning elementi ekan , demak , nuqta , ko`paytmaning ta`rifiga ko`ra , to`plam uchun xam element bo`ladi .
|
| |
