Vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalari

2.4.3-ta’rif. Agar
 ^  ^
bahoning dispyersiyasi eng kichik, ya’ni

l
^{inf D( )   } bo‘lsa, u holda ^{ }
effyektiv baho dyeb ataladi.

• 
  
  
  i l l
  

i
Umuman olganda, effyektiv baho mavjud bo‘lmasligi ham mumkin.

i
2.4.4-ta’rif. Agar ^{ } , ^{  (i  1, 2,...)}
baholar va ^
noma’lum

M _( ^(x , x ,..., x )  )² _

paramyetrlar uchun
lim
1 2 n
^{ 1} munosabat o‘rinli bo‘lsa,

^n inf M _( ^(x , x ,..., x )  )² _

• 
  
  
  i 1 2 n
  

i
u holda  ^ baho asimptotik effyektiv baho dyeb ataladi.
Juda katta hajmli (n yetarlicha katta bo‘lganida) tanlanmalar qaralganda statistik baholarga asoslilik talabi qo‘yiladi.

2.4.5-ta’rif. Asosli baho dyeb baholanayotgan paramyetrga
n 


da ehtimol bo‘yicha yaqinlashadigan  ^ bahoga aytiladi, ya’ni

lim P  ^ 
n

• 
  ^_ ^{ 0} , bu yerda   0 –yetarli darajada kichik son.
  

Agar bahoning dispyersiyasi baho asosli ham bo‘ladi.
n 
da nolga intilsa, u holda bunday

Agar ^N
hajmli bosh to‘plamning mumkin bo‘lgan
x₁, x₂ ,..., x_N -

qiymatlari turli bo‘lsa, ^x_B -bosh to‘plam o‘rtachasi

_{x } x₁  x₂  ...  x_{N } 1 _^N _x
(1)

^B N N
i
i1

formula bilan topiladi; agar ^N hajmli bosh to‘plamning mumkin bo‘lgan

x₁, x₂ ,..., x_k -qiymatlari mos ravishda
N₁, N₂ ,..., N_k
chastotalarga ega bo‘lib,

N₁  N₂ ... N_k  N bo‘lsa:

_{x } x₁ N₁  x₂ N₂  ...  x_k N_{k } 1 _^{k
x N} . (2)

^B N N
i i
i1

Bosh to‘plamning kuzatilayotgan ^X byelgisini tasodifiy miqdor

sifatida qarasak, uning matyematik kutilmasi uchun o‘rinli bo‘ladi.


M ( X )  x_B
tyenglik

Agar
turli bo‘lsa,
ⁿ hajmli tanlanmaning mumkin bo‘lgan
^x_T -tanlanma o‘rtacha
x₁, x₂ ,..., x_n -qiymatlari



T

i
_{x } x₁  x₂  ...  x_{n } 1 ⁿ _x
^{n n} i1
(3)

formula bilan topiladi; agar ⁿ hajmli tanlanmaning mumkin bo‘lgan

x₁, x₂ ,..., x_k -qiymatlari mos ravishda
n₁, n₂ ,..., n_k
chastotalarga ega bo‘lib,

n₁  n₂ ...  n_k  n bo‘lsa:

_{x } x₁n₁  x₂n₂  ...  x_k n_{k
 1 }k
^{x n} . (4)

^T n n
i i
i1

Bosh to‘plam o‘rtachasi-M(X) ning statistik bahosi sifatida

_{x } x₁  x₂  ...  x_{n } 1 _ⁿ _x
yoki
_{x } x₁n₁  x₂n₂  ...  x_k n_k
 ¹ _k x n

^T n n
i T
i1
^{n n} i1

-tanlanma o‘rtacha qabul qilinadi. ^x_T siljimagan baho

ekanligiga, ya’ni


M (x_T )  M ( X )
ekanligiga ishonch hosil qilamiz. ^x_T ni

^X_T -tasodifiy miqdor, x₁, x₂ ,..., x_n -variantalarni erkli, bir xil taqsimlangan

X₁, X₂ ,..., X_n
tasodifiy miqdorlar sifatida qaraymiz. Bu miqdorlar bir xil

taqsimlanganligi uchun ular bir xil son xaraktyeristikalarga, jumladan bir
xil matyematik kutilmaga ega: a  M (X_i ) . Bir xil taqsimlangan tasodifiy
miqdorlar arifmyetik o‘rtacha qiymatining matyematik kutilmasi ulardan bittasining matyematik kutilmasiga tyeng, ya’ni

M ( X
_{)  M}  ^{X1  X 2  ...  Xn}  _ ^{nM ( X1)} _{ M ( X )  a .}

T  _n  _n 1

X₁, X₂ ,..., X_n
 
miqdorlarning har biri va bosh to‘plamning X

byelgisi (uni ham tasodifiy miqdor sifatida qaraymiz) bir xil taqsimotga ega ekanligini e’tiborga oladigan bo‘lsak, bu miqdorlarning va bosh to‘plamning sonli xaraktyeristikalari bir

xil dyegan xulosaga kyelamiz. Shunday qilib,
M ( X_T )  a  M ( X ) _.

U holda ^x_T bosh to‘plam matyematik kutilmasi uchun siljimagan
baho ekan.
Ma’lumki, katta sonlar qonuniga (Chyebishyev tyeoryemasi)asosan

ixtiyoriy kichik
^{  0} son uchun

lim P
n

• 
  M (x )    lim P
  

n
 a   _  1_,



^{ }T
ya’ni ⁿ
ortishi bilan
^x_T -tanlanma o‘rtachasi bosh to‘plam matyematik

kutilmasiga ehtimol bo‘yicha yaqinlashadi. Bundan esa, ^x_T
uchun asosli baho bo‘lishi kyelib chiqadi.
baho ^a

Agar bosh to‘plamdan ancha katta hajmli bir nyechta tanlanmalar olinib har birining tanlanma o‘rtachalari topiladigan bo‘lsa, ular o‘zaro taqriban tyeng bo‘ladi. Bu tanlanma o‘rtachaning turg‘unlik xossasi dyeyiladi.

Agar ^N
hajmli bosh to‘plamning mumkin bo‘lgan
x₁, x₂ ,..., x_N -

qiymatlari turli bo‘lsa, bosh to‘plam dispyersiyasi

D( X )  D
_ 1 _^N
(x  x )²
(5)

i B

B

N
i1

x₁, x₂ ,..., x_k -qiymatlari mos ravishda
N₁, N₂ ,..., N_k
chastotalarga ega bo‘lib,

N₁  N₂ ... N_k  N bo‘lsa:

_{D } 1 _^k


N (x  x
⁾² . (6)

^N i1
i i B

Bosh to‘plam o‘rtacha kvadratik chyetlanishi
 ( X )  _B 
formula bilan aniqlanadi.

(7)

Agar ⁿ
hajmli tanlanmaning mumkin bo‘lgan
x₁, x₂ ,..., x_n -qiymatlari

turli bo‘lsa, tanlanma dispyersiyasi

D(x)  D
_{ 1 }n

(x  x )²

(8)

i T

T

n
i1
formula bilan topiladi; agar ⁿ hajmli tanlanmaning mumkin bo‘lgan

x₁, x₂ ,..., x_k -qiymatlari mos ravishda
n₁, n₂ ,..., n_k
chastotalarga ega bo‘lib,

n₁  n₂ ...  n_k  n
bo‘lsa:

T
D


_{ 1 }n
n (x  x


⁾² . (9)

ⁿ i1
i i T

2.4.6-misol. Tanlanmaning
x_i : 4 8 11
n_i : 5 10 5
statistik taqsimoti bo‘yicha uning dispyersiyasini toping.
Yechilishi. (4) formuladan foydalansak: ^x_T ^{ 7, 75} . Dispyersiyani
hisoblash uchun (9) formuladan foydalanamiz. U holda
5(4  7, 75)² 10  (8  7, 75)²  5 (11 7, 75)² 70,3125  0, 625  70,3125
D_T    7, 0625 .
20 20
Dispyersiyani hisoblashda (5), (6), (8), (9) formulalar noqulay, shu sababli, dispyersiya va matyematik kutilmalarning xossalaridan foydalanib, dispyersiyani hisoblash uchun qulay bo‘lgan quyidagi formulani kyeltirib chiqarish mumkin:

_ n x _n x²

^{D  x2 } _^x_2 ,
i i i i
x  ⁱ , x²  ⁱ _{. (10)}
n n

Bosh to‘plam dispyersiyasi uchun baho sifatida tanlanma

dispyersiyasi
D  ¹ _n (x  x )²


qanday baho bo‘lishini ko‘rib chiqamiz.

n
i T

1 B
i1

Qulaylik uchun
^{m  M (X )} ,
 ²  D
byelgilashlar kiritib olamiz.

n
 ²  ¹ _n
_x  x
^2 ^{ 1} n
^x  m  (x
 m)^2  ¹ _n
(x  m)² 

_n 
i T
i1
i T
i1
 ⁱ

n
i1

n

n

n
 ² (x  m)² _(x  m)  ⁿ (x
 m)²  ¹ _n (x  m)² 

T i T
i1
ⁿ i1

 ² (x  m)(x  m)n  (x
 m)²  ¹ _n (x  m)²  (x
 m)².

n
_n T T T
i T
i1

Agar
M (x  m)²  D(x )  ¹  ²
byelgilashni e’tiborga olsak,

T T _n 1

M ( ² )  ¹ M ^ _n (x m)^{2 }  M (x


 m)²   ²  ¹  ²  ^{n 1} ² .



T
ⁿ  i1 ^
1 _n 1 _n 1

Dyemak, tanlanma dispyersiyasi- D_T bosh to‘plam dispyersiyasi D_B
uchun siljimagan baho bo‘lolmas ekan, shu sababli, bosh to‘plam dis- pyersiyasi uchun siljimagan statistik baho sifatida

s²  ⁿ D
(11)

-“tuzatilgan” dispyersiya olinadi.
n 1 ^T

Bosh to‘plam o‘rtacha kvadratik chyetlanishining bahosi sifatida
^{s } - “tuzatilgan” o‘rtacha kvadratik chyetlanish olinadi.
Shuni alohida ta’kidlash kyeraki, s siljimagan baho bo‘la
olmaydi, shuning uchun uni “tuzatilgan” o‘rtacha kvadratik chyetlanish dyeb ataymiz.

2.4.7-eslatma. ^D

_{ 1 }n
^{n (x  x )2} va
_{s2 } 1 _ⁿ

n (x  x )²
formulalar

T
ⁿ i1
i i T
n 1


i1
i i T

maxrajlari bilan farqlanadi. U holda ⁿ ning katta qiymatlarida tanlanma
dispyersiyasi va “tuzatilgan” dispyersiyalarning farqi juda kam bo‘ladi.

Shu sababli, “tuzatilgan” dispyersiyadan foydalanish tavsiya etiladi.
n  30
hajmli tanlanmalarda

2.4.8-eslatma. Agar tanlanmaning variatsion qatorida variantalarning qiymatlari katta sonlardan iborat bo‘lsa, u holda
x_i -
x_i

variantadan
^{u  xi  c1} -shartli variantaga o‘tish orqali

i
c₂
u_i -variantalari

kichik sonlardan iborat yangi variatsion qator hosil qilinadi, so‘ngra

yangi tanlanma uchun ^u_T va
D_T (u)
lar topiladi. Oldingi tanlanmaning

x , D
(x)
xaraktyeristikalarini topish uchun

10. 
     c u  c
    

va ^D
(x)  c²D
(u)

T T
formulalardan foydalaniladi.
T 2 T 1
T 2 T

Matyematik statistika va uning tatbiqlarida variatsion qatorning tanlanma o‘rtachasi va tanlanma dispyersiyasidan tashqari boshka xaraktyeristikalari ham ishlatiladi. Shulardan ba’zilarini kyeltiramiz.