|
Yuqori tartibli hosilalar yordamida funksiyani ekstremumga tekshirish Reja
|
| bet | 2/3 | | Sana | 11.02.2023 | | Hajmi | 53.14 Kb. | | #41884 |
Bog'liq 634de0ca0f3b5fba4665b5d4a186791a Yuqori tartibli hosilalar yordamida funksMisol. Ikkinchi tartibli hosila yordamida y=2sinx+cos2x funksiya ekstremumlarini aniqlang.
Yechish. Funksiya davriy bo‘lganligi sababli [0;2] kesma bilan cheklanishimiz mumkin. Funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini topamiz:
y’=2cosx-2sin2x=2cosx(1-2sinx); y’’=-2sinx-4cos2x.
Ushbu 2cosx(1-2sinx)=0 tenglamadan funksiyaning [0;2] kesmaga tegishli bo‘lgan kritik nuqtalarini topamiz: x1=/6; x2=/2; x3=5/6; x4=3/2. Endi har bir kritik nuqtada ikkinchi tartibli hosila ishorasini aniqlaymiz va tegishli xulosa chiqaramiz:
y’’(/6)=-3<0, demak x1=/6 nuqtada y(/6)=3/2 maksimum mavjud.
y’’(/2)=2>0, demak x2=/2 nuqtada y(/2)=1 minimum mavjud.
y’’(5/6)=-3<0, demak x3=5/6 nuqtada y(5/6)=3/2 maksimum mavjud.
y’’(3/2)=6>0, demak x4=3/2 nuqtada y(3/2)=-3 minimum mavjud.
Bu funksiyaning (-2;2) intervaldagi grafigi 28-chizmada keltirilgan.
Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari
Faraz qilaylik, f(x) funksiya X sohada aniqlangan bo‘lsin. Bu funksiyaning qiymatlar to‘plami E(f)={f(x): xX} ni qaraymiz.
Agar E(f) to‘plam chegaralangan bo‘lsa, u holda uning aniq yuqori chegarasi mavjud, uni M= {f(x)} deb belgilaymiz. Agar ME(f) bo‘lsa, u holda M soni f(x) funksiyaning eng katta qiymati deb ataladi va M= {f(x)} kabi belgilanadi. Xuddi shunga o‘xshash E(f) to‘plamning aniq quyi chegarasi mavjud, uni m= {f(x)} deb belgilaymiz. Agar mE(f) bo‘lsa, u holda m soni f(x) funksiyaning eng kichik qiymati deb ataladi m= {f(x)} kabi belgilanadi.
Endi [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lgan f(x) funksiyani qaraymiz. Bu holda Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga ko‘ra funksiyaning [a;b] da eng katta va eng kichik qiymatlari mavjud bo‘ladi. Ravshanki, bu holda quyidagi qoida o‘rinli bo‘ladi.
Qoida. [a,b] da funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun bu kesmaga tegishli barcha kritik nuqtalarni topib ulardagi qiymatlari hisoblanadi. So‘ngra bu qiymatlar bilan f(a) va f(b) lar taqqoslanadi. Bu qiymatlar ichida eng kattasi f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng katta qiymati, eng kichigi esa f(x) funksiyaning eng kichik qiymati bo‘ladi.
|
| |
