|
Z5 ustidagi ko`phad doc
|
| bet | 3/4 | | Sana | 14.01.2023 | | Hajmi | 35.06 Kb. | | #38247 |
Bog'liq 2 nuqtali chegaraviy masala. Grin f-yasi wtBpNhksVE2HYyX2ADJV8l1Hnc0v1wOc (1), Mashinali o’qitishga kirish fanidan 2-mustaqil ta’lim mavzulari, kofeAsosiy qism.
1- §. Chegaraviy masalalarning qo‘yilishi.
Differensial tenglamalarning xususiy yechimlarini izlaganda Koshi masalasi bilan birga
boshqa chegaraviy deb ataluvchi masalalalarni ko‘rib chiqishga to‘g‘ri keladi. Bunday
masalalarga noma’lum funksiya qiymatlari bir nuqta emas intervalning ikki yoki undan ko‘p
nuqtalarida berilishi mumkin.
Misol. Massasi m bo‘lgan moddiy nuqta
̇
kuch ta’sirida harakatga keltirgan bo‘lsin.
Harakat qonunini aniqlash talab qilinadi. Agar boshlang‘ich momentda uni o‘rni
da bo‘lib, momentda esa da bo‘lsa, ( bunda M nuqtaning radius vektori )
Masala ushbu
̇
differensial tenglamaning chegaraviy shartlarini qanoatlantiruvchi
yechimini izlashga keltiriladi.
Ikkinchi tartibli differensial tenglamani qaraymiz:
(1)
Eng sodda chegaraviy masala bu tenglama uchun ushbu ko‘rinishda bo‘ladi:
(2)
ya’ni (1) differensial tenglamaning da aniqlangan shunday yechimini topish
talab etiladiki, u chetki nuqtalarida A va B qiymatlarni qabul qilsin. Geometrik nazardan
nuqtalardan o‘tadigan integral egri chiziqni topish talab qilinadi.
1-Misol. Quyidagi ( )
chegaraviy masalani yeching.
Yechilishi: Berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimining shakli:
bunda ixtiyoriy o‘zgarmaslar. Chegaraviy shartlarni qo‘yib, larni topamiz. Birinchi
shartdan , ikkinchisidan .
Izlangan yechim
( )
2-Misol. Ushbu tenglamaning, chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan
yechimini toping:
Yechilishi: Differensial tenglamaning umumiy yechimi
Birinchi chegaraviy shartda da . Bundan Ikkinchi shartga ko‘ra, da
.
Demak, ixtiyoriy o‘zgarmas. Shunday qilib, chegaraviy masala yechimi cheksiz ko‘p
va u quyidagi formula orqali ifodalanadi:
3-Misol. Ushbu chegaraviy masala yechimi
bo‘lmasligini ko‘rsating.
Yechilishi: Differensial tenglamaning umumiy yechimi
,
Berilgan shartlarni yechimga qo‘yamiz:
}
Sistemaning birinchi tengligidan , ikkinchisidan bo‘layapti. Xulosa, chegaraviy
masalani qanoatlantiruvchi yechimi yo‘q. Bu holda chegaraviy masala nokorrekt qo‘yilgan
deyiladi.
Yuqorida eng oddiy chegaraviy masalalarni ko‘rdik. Unda berilgan differensial
tenglamaning umumiy yechimi ma’lum edi. Biz berilgan shartlardan foydalanib, ixtiiyoriy
o‘zgarmaslar qiymatini aniqladik, shu bilan chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan yechimlarni
topib oldik. Ayniqsa, matfizika masalalarini yechishda ancha murakkab hollar ham bo‘ishi
mumkin.
Chiziqli chegaraviy masala.
Yuqori tartibli oddiy differensial tenglamalar nazariyasida n-tartibli chiziqli tenglamalar
alohida o‘rin tutadi. Buning sababi chiziqli differensial tenglamalar nazariyasi har tomonlama
chuqur o‘rganib chiqqan, yechim metodlari mavjud va chiziqli tenglamalar fizika, mexanika,
texnikada keng tadbiq qilinadi. Injinerlik amalida tez-tez differensial tenglamaning
biror kesmada u yoki bu shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini izlashga to‘g‘ri keladi.
Bunga misol oldin ko‘p marotaba ko‘rgan Koshi masalasi bo‘ladi. Koshi masalasining o‘ziga xos
talabi shu ediki, noma’lum funksiya va uning tagacha hosilalarining qiymati
bitta nuqtada berilgan edi. Vaholanki ba’zi fizik, texnik masalalarni yechishda shu
jarayonni tasvirlovchi chiziqli differensial tenglamalarning boshlang‘ich shartlar kesmaning bir
nechta nuqtalarida berilgan yechimlarini izlashga to‘g‘ri keladi.
Chegaraviy masala chiziqli deyiladi, agar differensial tenglama va chegaraviy shartlar
chiziqli berilgan bo‘lsa. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama va chegaraviy shartlar
ushbu ko‘rinishda o‘lishi mumkin:
(3)
} (4)
bu yerda berilgan o‘zgarmaslar.
Chiziqli chegaraviy masala (3) , (4) bir jinsli chegaraviy masala deyiladi, agar
bo‘lsa.
Bir jinsli chegaraviy masala.
Chiziqli bir jinsli chegaraviy masalani qaraymiz:
(5)
} (6)
bu yerda lar lar uchun uzluksiz funksiyalar bo‘lsin.
Faraz qilaylik, | | | | va | | | | trivial yechim. Biz
yechimlarni izlaymiz.
Aytaylik berilgan differensial tenglamaning yechimlar fundamental
sistemasi bo‘lsin.unda umumiy yechim ushbu formula orqali ifodalanadi:
(7)
(6) chegaraviy shartlarga (7) ni qo‘yamiz:
[ ]
[ ]
}
koeffitsientlarni gruppalaymiz unda,
[ ] [ ]
[ ] [ ]
} (8)
Yuqoridagi (8) sistema larga nisbatan chiziqli bir jinsli algebraik sistema noldan farqli
yechimga ega bo‘lishi uchun, ushbu tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir.
| | (9)
Shunday qilib, (5), (6) chegaraviy masalaning noldan farqli yechimi mavjud bo‘lishi
uchun (9) shartning bajarilishi zarur va yetarlidir.
4-Misol. Bir jinsli chegaraviy masalani yeching:
Yechilishi: Differensial tenglamaning umumiy yechimi
Chegaraviy shartlarni qo‘yamiz:
}
| |
Sistema yechimi . Unda faqat yechim mavjud.
Teorema. (5) differensial tenglamaning (3) umumiy chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi
yechimi bitta va faqat bitta bo‘lishi uchun, (1) differensial tenglamaning bir jinsli chegaraviy
shartni qanoatlantiruvchi yechimi faqat trivial bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala.
Ushbu differensial tenglamani
(10)
Quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinadi.
} (11)
Aytaylik, funksiyalar (10) tenglamaning mos chiziqli bir jinsli tenglamaning
yechimlar sistemasi, funksiya esa (10) tenglamaning biror xususiy yechimi bo‘lsin. Unda
dastlabgi tenglamaning umumiy yechimi quyidagi formula orqali ifodalanadi:
(12)
Endi (12) umumiy yechim ifodasini (11) ga qo‘yamiz, keyin oldidagi koeffitsientlarni
guruhlaymiz, natija quyidagicha bo‘ladi:
[ ] [ ]
}
Bu algebraik sistema yagona yechimga ega bo‘ladi, agar
| |
5-Misol. Bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masalani yeching.
Yechilishi: Berilgan bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi
Chegaraviy shartlarni da ; da umumiy yechim formulasiga qo‘yamiz.
} }
Ixtiyoriy o‘zgarmaslarning qiymatlarini hisobga olib, chegaraviy masala yechimini yagona
tarzda topamiz.
6-Misol. tenglamaning ,
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini izlaymiz.
Yechilishi: Berilgan Eyler tenglamasi deymiz, unda
( )
bo‘ladi. Bularni dastlabgi tenglamaga qo‘yib ixchamlaymiz va quyidagini hosil qilamiz:
(*)
o‘zgarmas koeffisientli chiziqli tenglama. Bir jinsli tenglamaning xarakteristik ko‘phadi
ildizlari , umumiy yechim
Endi tenglamaning xuxusiy yechimini izlaymiz: bunda ,
. Demak, noma’lum son.
Ifodalarni tenglamaga qo‘yamiz va ga qisqartirib quyidagilarni hosil qilamiz:
— xususiy yechim.
— berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi:
Bundan
va larga , keyin ni qo‘ysak, ,
Bu qiymatlarni qo‘yilgan chegaraviy shartlarga qo‘ysak, bo‘ladi:
}
Shunday qilib izlanayotgan yechim
Grin funksiyasi
(1)
(2)
(1), (2) chgaraviy masalaning Grin funksiyasi deb, uzluksiz shunday
funksiyaga aytiladiki, ushbu shartlar bajarilsa,
1) ‘
(3)
tenglamani qanoatlantiradi;
2) va da funksiya (2) – chi chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi;
3) da bo‘yicha uzluksiz uning xosilasi nuqtada chekli
uzulishga ega bo‘lsin ya’ni uning sakrashi,
(4)
Chegaraviy masalaga mos kelgan Grin funksiyasini aniqlash uchun, oldin bir jinsli (3)
tenglamaning ikkita chiziqli erkli (trivialmas) yechimini topish kerak. Ular mos ravishda 1 – chi
va 2 – chi chegaraviy (2) shartlarni qanoatlantirishi kerak. U vaqtda Grin funksiyasi movjud
bo‘ladi va uni
{
shakilda izlash mumkin, lar ning funksiyalari bo‘lib, ularni (4) xossadan
foydalanib topamiz. Ushbu algebraic sestemadan
{
Grin funksiyasi mavjud bo‘lganda ∫ formula (1), (2) chegaraviy
masala yechimi bo‘ladi.
∫ ∫
1-Misol. Grin funksiyasini tuzing:
Yechilishi: tenglamaning umumiy yechimi Birinchi
shartdan , demak Ikkinchi shartdan
diylik, ; . va chegaraviy
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlar chiziqli erkli ekanligini Vronskiy determinanti orqali
ko‘rsatamiz. Haqiqatan
| | .
Demak, Grin funksiyasini ushbu shaklda izlash kerak
{
Bunda hozircha noma’lum. Ular ushbu tengliklarni qanoatlantirishi kerak
}
Bundan , demak
{
2-Misol. Grin funksiyasini tuzing bunday qo‘yilgan chegaraviy masala uchun
chegaralangan bo‘lsin barcha larda
Yechilishi: tenglamaning xususiy yechimlari va ,
chiziqli erkli, umumiy yechimi
Birinchi xususiy yechim chegaralangan bo‘ladi da, ikkinchisi agar
. Grin funksiyasini quyidagi ko‘rinishda izlaymiz
{
Bu yerda funksiyalarni shunday tanlab olamizki
Tengliklar bajarilsin, bizda oldidagi koefsent.
{
Bundan
{
2-§
|
| |
