Optimallashtirishning variatsion hisoblash usuli

Optimallashtirishning variatsion hisoblash usuli

Yuqorida ko‘rilgan masalalarning barchasida maqsadli va chegaraviy munosabatlar aniqlanishi kerak bo‘lgan parametrga nisbatan funktsiyalar sifatida berilgan edi.
TS ni Kompyuterli loyihalash da, ba’zi hollarda maqsadli munosabatlar va chegaraviy munosabatlar funktsiyalar emas funktsionallar sifatida ifodalanadi. Bunday masalalarning optimal echimlarini aniqlash uchun variatsion hisoblash usulidan foydalangan maqsadga muvofiq.
Aytaylik, x, u dy/dx o‘zgaruvchilarga ega bo‘lgan ikki marta differentsiallanuvchi Ғ funktsiya va uning x₁ x₂ orasidagi aniq integrali

X _{2 }
^dy 

(25)

1
^{I } _ ^F  ^{x, y,} _dx ^dx
_X  

berilganbo‘lsin va shu integralnioptimallashtiruvchi y=u(x) funktsiyani topish kerak bo‘lsin.

Variatsion hisoblashdaizlanayotgan funktsiya quyidagi Eyler shartiga mos bo‘lishi kerak

F _ 
^F  0 bunda y¹  ^y

(26)

y x y x

F F

y¹ d dF d ^
_y1 _

 0;
 ;
_  






y y¹
1  ( y¹ )²
dx dy
^{dx } 1  ( y¹)^{2 }

Aniqlanganlarni Eyler shartiga qo‘yamiz.

Differentsiali nolga teng bo‘lgan funktsiya o‘zgarmas miqdor bo‘ladi. va bu miqdorni S bilan belgilasak

y¹ 

va oxirgini integrallab echsak

C _; dy _ C _;
dx

y  ^C

 x¹K

kelib chiqadi.

Bu izlanayotgan to‘g’ri chiziq tenglamasi A va V nuqtalarning berilgan koordinatalarini hisobga olsak К=0; S/1-S₂=1 kelib chiqadi. Demak echim: Optimal funktsiya u=x bo‘ladi.
Agar chegaraviy munosabatlar ham qo‘yilgan bo‘lsa Eyler sharti boshqacharoq bo‘ladi. Aytaylik quyidagi berilgan integralni minimallashtiruvchi

b
I  _ F (x, y, y¹)dx
a
b
 min^





(17)


g  _Gx, y, y¹dx  K ^
a

chegaraviy munosabatlarni qanoatlantiruvchi u=u(x) funktsiya aniqlanishi kerak bo‘lsin. Bunda К - o‘zgarmas son. Bu holda



b
_ F x, y, y
a
¹  Gx, y, y
¹ dx;

integralni minimalashtirish uchun Eyler sharti quyidagicha bo‘ladi

F _{ } G _ d F _{ } d
G _{ 0}

(18)

y y dx dy¹
dx dy¹

Misol tariqasida quyidagini ko‘raylik (17rasm)

I  _
a
1  ( y¹)² dx  min;

b _

Demak bu misol uchun,
g  _ ydx 

R
a
F  va G=y

Eyler shartiga asosan
d y¹ _{ }
0 0
^dx 1  ( y¹)²
Oxirgi differentsial tenglamani yechsak

(  C₁
1) da y 

va hosil bo‘lgan tenglamaning ikkala tomonini ham kvadratga ko‘tarib, quyidagi radiusi 1 ga teng va markazi (1;0) nuqtada bo‘lgan aylana tenglamasini olamiz va izlangan egri chiziq shu bo‘ladi.
Shunday qilib optimal Kompyuterli loyihalash jarayonlarida keng qo‘llanilishi