3-teorema. (Nyuton teoremasi). Agar uchun ko’phad va uning barcha , , ..., xosilalari nomanfiy bo’lsa: , u holda ni tenglamaning musbat ildizlari uchun yuqori chegara deb hisoblash mumkin.
Isbot. Teylor formulasiga ko’ra teorema shartiga ko’ra bo’lganda bu tenglikning o’ng tomoni musbatdir. Demak, tenglamalarning barcha musbat ildizlari tengsizlikni qanoatlantiradi. Bu teoremalar faqat musbat ildizlarning yuqori chegarasini aniqlaydi. Quyidagi:
,
,
ko’phadlarga yuqoridagi teoremalarni qo’llab, , , , musbat ildizlarning yuqori chegaralari , , va larni mos ravishda topgan bo’lsak, u vaqtda tenglamaning hamma musbat ildizlari va xamma manfiy ildizlari esa tengsizliklarni qanoatlantirar ekan.
Quyidagi misolda biz yuqorida keltirilgan metodlarni qo’llab ularning natijalarini solishtiramiz.
Misol. Quyidagi tenglama haqiqiy ildizlarning chegarasi topilsin:
2-teoremani qo’llaymiz: bu yerda , . Demak, , ya’ni tenglamaning ildizlari oraliqda yotar ekan.
Endi Lagranj teoremasini qo’llaymiz: , , . Bu qiymatlarni formulaga qo’yib, musbat ildizlarning yuqori chegarasi uchun ni hosil qilamiz. Keyin tenglamada ni ga almashtirsak,
tenglama kelib chiqadi. Bu tenglama musbat ildizlarning yuqori chegarasi uchun ham tengsizlik kelib chiqadi. Ya’ni Lagranj teoremasiga ko’ra tenglamaning ildizlari oraliqda joylashgan ekan.
Nyuton metodini qo’llaylik, bu yerda: , , , , ko’rinib turibdiki uchun , , va . Osongina payqash mumkinki bo’lsa ham faqat musbat qiymat qabul qiladi, ya’ni musbat ildizlarining yuqori chegarasi ekan. Xuddi shuningdek, tenglama musbat ildizlarning yuqori chegarasi ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Demak, tenglamaning ildizlari oraliqda yotar ekan.
Har uchala metod natijalarini solishtirsak, Nyuton metodi garchi ko’proq mehnat talab qilsada, ildizlar chegaralari uchun yaxshiroq natija berishi ko’rinadi.
Endi oliy algebradan ma’lum bo’lgan ikkita teoremani isbotsiz keltiramiz.
Dikart teoremasi. tenglama koeffitsentlaridan tuzilgan sistemada ishora almashtirishlar soni qancha bo’lsa (sanashda nolga teng koeffitsentlarga e’tibor qilmaymiz), tenglamaning shuncha musbat ildizi mavjud yoki musbat ildizlar soni ishora almashtirishlar sonidan juft songa kamdir.
Faraz qilaylik, tenglama karrali ildizga ega bo’lmasin. Biz orqali hosilani, orqali ni ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiqning teskari ishora bilan olinganini, orqali ni ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiqning teskari ishora bilan olinganini, va h.k. belgilaymiz va bu jarayonni qoldiqda o’zgarmas son hosil bo’lguncha davom ettiramiz. Natijada Shturm qatori deb ataluvchi , , , ... , funksiyalar ketma ketligiga ega bo’lamiz.
|
