|
Misol. Grafik usuli bilan tenglamaning ildizi taqribiy topilsin.
Yechish
|
| bet | 4/10 | | Sana | 14.12.2023 | | Hajmi | 44,2 Kb. | | #118778 |
Bog'liq Amaliy matematika va informatika” kafedrasi “Hisoblash usullari” 7-sinf, 1. Tugun nuqtalar va ularni birlashtiruvchi yoylar to’plami nima, I. Dars mavzusi Kvadrat tenglama va uning ildizlari, eksperimental psixologiya, 11, Iqtisodiy rivojlanish 2 topshiriq (3), tavfsiya, akademik yozuv, 5- sinf texnologiyamonitoring test, AMERIKA VA KANADA LOGISTIKASI, bjskjskjsbsh, mustaqil ishOllonazar, 20 10 6 Fuqaro muhofazasi bo‘yicha mutaxassislarni malakasini oshirishda, moliya bozori. RR, KIBERXAVFSIZLIK ASOSLARIMisol. Grafik usuli bilan tenglamaning ildizi taqribiy topilsin.
Yechish. Bu tenglamani ko’rinishda yozib olamiz. egri chiziqning va to’g’ri chiziqning grafiklarini chizib 1.2-chizmadan ko’ramizki, ularning kesishish nuqtasining abssissasi ekan.
Agar yoki chiziqli funksiya, masalan bo’lsa, u vaqtda tenglamachining ildizlarini ajratish soddalashadi. Faqat va koeffisentlari bilan farq qiladigan bir xil tipdagi bir nechta tenglamalarning ildizlarini ajratish uchun grafik usuli qulaydir. Chunki bu yerda ildizlarni ajratish (ildizlarni taqribiy topish) bitta tayin funksiya grafigi bilan har xil to’g’ri chiziqlar kesishish nuqtalarining abssissalarini topishdan iboratdir. Bu tipga ko’rinishdagi tenglamalar misol bo’la oladi.
Masalan, va tenglamalar ildizlarining taqribiy qiymatlari topilsin. Buni yechish uchun kubik parabolani chizamiz. So’ngra va to’g’ri chiziqlarning parabola bilan kesishish nuqtalarining abssissalarini topamiz. 1.3-chizmada ko’rinib turibdiki, birinchi tenglama fakat bitta haqiqiy ildizga ega bo’lib, ikkinchi tenglama esa uchta ; ; haqiqiy ildizlarga egadir. Agar tenglamaning kompleks ildizlarini topish kerak bo’lsa, deb olib, bu tenglamani ko’rinishda yozib olamiz, bu yerda va haqiqiy va o’zgaruvchilarning haqiqiy funksiyalari. Bu tenglama esa quyidagi ikkita tenglamalar , sistemasiga teng kuchlidir. Endi , egri chiziqlarni chizib, ularning kesishgan nuqtalarini topamiz. Kesishish nuqtalarining absissasi va ordinatalari tenglama yechimlarining mos ravishda haqiqiy va mavhum qismlarini beradi. Dastlabki tushunchalar. Ushbu f(x) = 0 (1.1) chiziqli bo‘lmagan tenglamaning ildizini (ildizlarini) topish talab etiladi. Agar f(x) funksiya ko‘phad bo‘lsa, u holda (1.1) tenglama n–darajali algebraik tenglama deb ataladi, ya’ni f(x) = Pn(x) = a0x n + a1x n–1 + . . . + a n–1x +an = 0, (1.2) bunda a0, a1, ..., an–1, an – berilgan Pn(x) ko‘phadning koeffisiyentlari. Boshqacha aytganda, algebraik tenglama deb algebraik (butun, ratsional, irratsional) funksiyalardan tashkil topgan tenglamaga aytiladi. Darajasi to‘rtdan yuqori bo‘lgan algebraik tenglamalar uchun uning ildizlarini koeffisiyentlari orqali ifodalovchi aniq formula mavjud emas. Algebraik tenglama ildizlari sonini ko‘phadning darajasiga qarab, ularning xarakterini esa shu ko‘phad koeffisiyentlarining ishorasiga qarab aniqlash mumkin. Quyiroqda n–darajali algebraik tenglama, ya’ni Pn(x) ko‘phadning ildizlari haqida kengroq tushunchalar berilgan. Algebraik bo‘lmagan har qanday tenglama transendent tenglama (transendent funksiyalar: ko‘rsatgichli, logarifmik, trigonometrik, teskari trigonometrik va boshqa funksiyalarni o‘z ichiga olgan tenglama) deb ataladi. Masalan, (2,1x+1)/(0,3x+1) sin(2x)–0,4x 2 = 1 yoki 2 0,1x–6lg(44-x)+5,5sin(x) = 0. Kamdan kam hollardagina transendent tenglamalar ildizlarining aniq qiymatini topish mumkin. Transendent tenglamalar birorta ham haqiqiy ildizga ega bo‘lmasligi, chekli yoki cheksiz sondagi ildizlarga ega bo‘lishi mumkin. Masalan, yuqorida keltirilgan misollardan birinchi tenglama 7 ta, ikkinchisi esa 5 ta haqiqiy ildizga ega (buni mustaqil aniqlang, masalan, Maple dasturi yordamida uning grafigini chizing). 4 Shularga ko‘ra tenglamaning taqribiy ildizlarini topish usullari va ularning aniqlik darajasi muhim ahamiyatga ega. Shunday qilib, algebraik va transendent tenglamalar ikki turga bo‘linadi: chiziqli (bitta yechimli) va chiziqli bo‘lmagan (bir yoki bir nechta yechimli) tenglamalar. Chiziqli bo‘lmagan tenglamalar esa: algebraik (yechimlari n ta) va transendent (yechimlari soni noma’lum) tenglamalarga bo‘linadi (1.1-rasm). 1.1-rasm. Tenglamalar klassifikatsiyasi. Masalani yechish bosqichlari: Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish usullari ikki turga bo‘linadi: to‘g‘ri (yoki analitik) va taqribiy (iteratsion) usullar. Analitik usulda tenglamaning barcha yechimlari chekli sondagi operatsiyalarda (yoki formulalar) orqali aniqlanadi. Masalan, shu usulga ushbu ах2+bх+с = 0 – kvadrat tenglamaning yechimlarini topishni misol qilib keltirish mumkin. Bu tenglamaning yechimlari quyidagicha: , 2 4 2 1 a b b ac x a b b ac x 2 4 2 2 . Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish bir necha bosqichga bo‘linadi: ildizlarning mavjudligini, sonini, xarakterini va ularning joylashishini tekshirish; ildizlarni ajratish; ildizlarning taqribiy qiymatlarini topish, ya’ni tenglamaning yagona ildizi mavjud bo‘lgan yetarlicha kichik [a,b] kesmani aniqlash (dastlabki yaqinlashuvchi ildiz); ildizlarning barchasini yoki ularning bir qismini talab qilingan aniqlikda topish. Dastlabki uchta bosqichda analitik yoki grafik usuldan (ba’zida tadqiqot obyekti yoki hodisaning fizik ma’nosidan) foydalanish mumkin. Bunda quyidagi holatlar kuzatiladi: ildiz yagona; cheksiz ko‘p yechimlar; ildiz yo‘q; bir nechta yechimlar mavjud bo‘lib, ulardan ba’zilari haqiqiy, ba’zilari esa mavhum; ildizlar karrali; ildizlar bir biriga juda yaqin va dastlabki yaqinlashishni topish murakkab. 5 Oxirgi bosqichda esa biror taqribiy (iteratsion) usuldan foydalaniladi, bunda dastlabki tenglamaning ildizini topish juda murakkab bo‘lgan holda bu tenglama uning ildiziga teng yoki unga juda ham yaqin joylashgan ildizli sodda tenglamaga ham almashtirilishi (masalan, transendent tenglamani algebraik tenglamaga almashtirish) mumkin. Tenglamani yechishning geometrik talqini. Tenglamaning ildizlari har xil bo‘lishi mumkin. Geometrik nuqtai nazardan bu x ildiz y = f(x) funksiya grafigining Ox abssissa o‘qi bilan kesishish nuqtasini bildiradi. Agar birinchi tartibli hosila f ( x ) 0 bo‘lsa, u holda x – oddiy ildiz, aks holda esa u karrali ildiz deb ataladi. Agar barcha k< ε shart yoki bir tomonlama yaqinlashishida f(xn+1) < ε va xn+1 – xn < ε shartlar bajarilgunga qadar davom ettiriladi. Shuni ta’kidlaymizki, bir tomonlama usullar qo‘llanilayotganda ko‘proq nisbiy aniqlikdan foydalaniladi. Iteratsion jarayonning yaqinlashish tezligi qo‘llanilayotgan taqribiy usullarning samaradorligini taqqoslashda muhim ahamiyatga ega. Iteratsion usul m-tartibga (yoki m – yaqinlashish tezligiga) ega deyiladi, agar m eng katta musbat son bo‘lib, uning uchun shunday q>0 – chekli musbat son mavjud bo‘lsaki, u ushbu xn+1 – x qxn – x m shartni qanoatlantirsa. (xn – x ) miqdor iteratsiyaning bajarilayotgan qadamidagi absolyut xatosi, q o‘zgarmas son asimptotik xatoning konstantasi deb ataladi. Bu q o‘zgarmas son f(x) funksiyaning x = x nuqtadagi hosilasi orqali baholanadi. Agar m=1 va q (0;1) bo‘lsa, u holda qo‘llanilayotgan usul chiziqli yaqinlashish tezligiga ega deyiladi (ba’zida bu holdagi usul maxraji q ga teng bo‘lgan geometrik progressiya tezligi bilan yaqinlashadi deyiladi). Agar baholash xn+1 – x qn+1xn – x m, n da qn 0 7 kabi bo‘lsa, u holda bu usul o‘ta chiziqli yaqinlashish tezligiga ega deyiladi. O‘ta chiziqli tezlik haqida 1 0 bo‘lsa yoki f(a)·f(b) 0 shart bajarilsa, u holda [a,b] kesmada f(x) funksiya uzluksiz bo‘lganligi uchun uning shu kesmada hech bo‘lmaganda bitta ildizi mavjud bo‘ladi. Diqqat qiling, f(a)·f(b)<< Q(z) va Q(z) ning ildizlari ma’lum. U holda f(z) ning ildizlari Q(z) ning ildizlari yaqinida yotadi. Masalan, 0,001x 3+x 2– 5x+6=0 tenglamaning ildizlari ushbu (z)= 0,001x 3 va Q(z) = x 2 – 5x+6 belgilashlarga ko‘ra x=2 va x=3 dan bir oz qo‘zg‘algan bo‘ladi (1.4-rasm). 1.4.-rasm. Tenglama ildizlarini ajratishning kichik parametlar usuliga misol. Tenglamaning haqiqiy ildizlarini ShEHM lar yordamida ajratish. Bu algoritm haqiqiy ildiz atrofida funksiya ishorasining o‘zgarishini tekshirishga asoslangan. Haqiqatdan ham, agar ildiz haqiqiy bo‘lsa, u holda funksiya grafigi abssissa o‘qini kesib o‘tadi va bunda funksiya o‘zining ishorasini qarama-qarshisiga almashtiradi. Funksiyaning aniqlanish sohasida berilgan kesmada chiziqli bo‘lmagan tenglamaning ildizlarini ajratish algoritmi va uning sxemasini 10 qaraylik (1.5-rasm). Bu algoritm berilgan [a,b] kesmadagi barcha haqiqiy ildizlarning taqribiy qiymatlarini topish imkonini beradi. Bu algoritmda ozgina o‘zgartirish kiritish yo‘li bilan undan maksimal yoki minimal ildizlar taqribiy qiymatlarini aniqlash uchun ham foydalanish mumkin. Ikkita ildizdan «sakrab o‘tib ketmaslik» uchun noma’lumning Δx orttirmasini uncha katta olmaslik kerak. Bu usulning kamchiligi shundaki, undan fodalanilganda ko‘p mashina vaqti sarflanadi. Shunday qilib, f(x) = 0 tenglamaning ildizlarini ajratish jarayonida quyidagi holatlar kuzatiladi: f(x) funksiyaning aniqlanish sohasida grafigi chizilib, uning Ox o‘qi bilan kesishgan nuqtalari topiladi. Bu nuqtalarga mos keluvchi x lar taqribiy yechim deb qabul qilinadi; f(x) funksiyaning grafigi chiziladi va uning abssissa o‘qi bilan kesishish nuqtalari yotgan taqribiy oraliq aniqlanadi; ba’zi hollarda f(x)=0 tenglamani f 1 (x)=f2 (x) ko‘rinishdagi ekvivalent tenglamaga keltirish maqsadga muvofiq, chunki bunday holda y=f(x) funksiyaning grafigidan ko‘ra y = f 1 (x) va y = f2 (x) funksiyalarning grafiklarini chizish osonroq. Bunday holda f(x)=0 tenglamaning ildizini y = f 1 (x) va y = f2 (x) funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtasi absissasi ifodalaydi; taqribiy ildiz yotgan [a,b] kesmaning haqiqatda to‘g‘ri olinganligini analitik yo‘l bilan tekshirib ko‘rish mumkin. Buning uchun yana ildizning mavjudlik sharti f(a)f(b) 0 bo‘lsa, u holda f(x) funksiya (–,) oraliqda o‘suvchi bo‘ladi. Berilgan tenglamaning ildizi yotgan chekli [a,b] kesmani topaylik. Tanlash usuli bilan f(x) funksiya kesmaning oxirgi nuqtalarida har xil ishorali qiymatlar qabul qiladigan [a,b] kesmani topamiz. Buning uchun argumentning bir necha qiymatlarida funksiyaning qiymatlarini hisoblaymiz, masalan, f(–1) =–4 < 0, f(0) = – 1 < 0, f(1) = 2 > 0. Boltsman–Koshi teoremasiga ko‘ra berilgan tenglamaning ildizi [0;1] kesmada yotibdi va u yagona, chunki f (x) hosila (0;1) intervalda musbat va o‘z ishorasini saqlaydi. 2–uslub. Berilgan tenglamaning ildizini grafik usulda ajratish uchun uni х 3=–2х+1, ya’ni f 1 (x)=f2 (x) ko‘rinishda ifodalaymiz. Endi y = х 3 va y = –2х+1 funksiyalarning grafiklarini chizamiz. Bu grafiklar absissasi (0;1) oraliqda bo‘lgan M nuqtada kesishadi (1.6-rasm). 2–misol. Ushbu x·lnx–1 = 0 tenglamaning ildizlarini grafik usulda ajrating. 1.6-rasm. х 3 +2х–1=0 tenglamaning ildizini grafik usulda ajratish. 1.7-rasm. x·lnx–1 = 0 tenglamaning ildizini grafik usulda ajratish. Yechish. Berilgan tenglamani lnx=1/x ko‘rinishda yozib olib, y = lnx va y = 1/x elementar funsiyalarning grafiklarini chizamiz. Bu funksiyalarning grafiklari absissasi (1;2) oraliqqa tegishli yagona M nuqtada kesishishadi. Shunga ko‘ra, berilgan tenglamaning yagona ildizi (1;2) oraliqda yotadi (1.7-rasm). 13 3-misol. Ushbu x·sinx = 1 yoki f(x)=x·sinx–1=0 tenglamaning ildizlarini toping. Yechish. f(x) funksiyani sinx = 1/x ko‘rinishda ifodalab, uning ildizlarini grafik usulda aniqlaylik (1.8-rasm). Tenglamaning ildizlari Oy o‘qqa nisbatan simmetrik, shuning uchun uning faqat musbat 1.8-rasm. Cheksiz ko‘p ildizga ega tenglamaning ildizlarini grafik usulda ajratish. ildizlarini qarashimiz yetarli. x * 1, x * 2, … larning qiymatlarini yetarlicha aniqlikda hisoblashimiz mumkin, ammo n da x * n ning qiymatini aniqlab bo‘lmaydi. Shunga qaramasdan grafikdan ko‘rinadiki, n>>1 da x * n ildizlar n ga yaqin. Bu olingan qiymatlarni tenglama ildizlarining (x * 1) 0 , (x * 2) 0 , … boshlang‘ich yaqinlashishlari qiymatlari deb qabul qilib, ildizlarni biror taqribiy usul yordamida aniqlashtirishimiz mumkin. 4-misol. Ushbu x 3–4x+2=0 tenglamaning ildizlarini ajrating. Yechish. Avvalo bu tenglamani quyidagi ko‘rinishga keltiramiz: x(x 2–4)+2 = 0 yoki x=–2/(x 2–4). Bunga ko‘ra quyidagi ikkita funksiyaning grafigini chizamiz (1.9-rasm): y1 = x va y2 = –2/(x 2–4). Bu funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtalari abssissalari ildizlarning taqribiy qiymatini beradi: x1 –2,2; x2 0,5; x3 1,6 . 1.9-rasm. Bir nechta ildizga ega tenglamaning ildizlarini grafik usulda ajratish. Shunday qilib, berilgan tenglama uchta haqiqiy ildizga ega ekan, ularning qiymatlari esa tanlangan taqribiy usulga ko‘ra aniqlashtiriladi. Bu aniqlashtirishlar amalga oshiriladigan kesmalar quyidagilar: x1 [-2,5; -2,0] ; x2 [0; 0,8] ; x3 [1,2; 1,8] . 5-misol. Ushbu 5 x – 6x – 3 = 0 tenglamaning ildizlarini analitik yo‘l bilan ajrating. Yechish. Bu yerda f(x) = 5 x – 6x – 3 = 0 kabi belgilash kiritamiz. Hosilasini topamiz: f (x) = 5x ·ln5 – 6. Hosilaning ildizlarini topamiz: 14 5 x ·ln5 – 6 = 0; 5x = 6/ln5; x·lg5 = lg6 – lg(ln5); x = 5 6 ( 5) lg lg lg ln = 0,6990 0,7782 0,2065 = 0,6990 0,5717 ≈ 0,82. f(x) funksiya ishoralari jadvalini x ning qiymatini: a) funksiyaning kritik qiymatlariga (hosila ildizlariga) yoki ularga yaqin qiymatlarga; b) chegaraviy qiymatlariga (noma’lumning aniqlanish sohasi qiymatlaridan kelib chiqib) teng deb tuzamiz: x – 1 + sign f(x) + – + Jadvaldan ko‘rinadiki, funksiya ishorasining ikki marta o‘zgarishi kuzatilmoqda, shunga ko‘ra berilgan tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Ildizlarni ajratish operatsiyasini yakunlash uchun ildizlarni o‘z ichiga olgan va uzunligi 1 dan katta bo‘lmagan oraliqni aniqlashimiz lozim. Buning uchun f(x) funksiya ishoralarining yangi jadvalini tuzamiz: x –1 0 1 2 sign f(x) + – – + Shunday qilib, haqiqiy ildizlar yotgan oraliqlar: x1[–1; 0]; x2[1; 2]. 1.3. Algebraik tenglamaning ildizlarini ajratish Ko‘phadning, ya’ni (1.2) algebraik tenglamaning ildizlarini ajratish masalasi yaxshi o‘rganilgan va ancha osondir, bunda ai (i=0,1,…,n) koeffisiyentlar ham haqiqiy va ham kompleks sonlardan iborat bo‘lishi mumkin. Faqat shuni ta’kidlaymizki, bunda (1.2) ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish, Gorner sxemasi, o‘rniga qo‘yish orqali akslantirish (masalan, x=cy, x=ya, x=1/y kabi almashtirishlar), Bernulli usuli va boshqa usullar bu algebraik tenglamaning ildizlarini ajratish masalasini soddalashtiradi. Quyidagi teoremalarning birinchisi boshqalariga nisbatan umumiyroqdir, chunki u kompleks ildizlarining ham chegaralarini beradi. Biz har doim (1.2) tenglamada koeffisentlar haqiqiy va a0 ≠ 0, an ≠ 0 deb olamiz. 3-teorema. Boshqacha qilib aytganda, x ning bu qiymatlarida f(x) ko‘phad nolga aylanmaydi, ya’ni (1.2) tenglama ildizga ega bo‘lmaydi. Shu bilan teoremaning yarmi isbot bo‘ldi. Teoremaning ikkinchi yarmini isbotlash uchun x=1/y deb olib, f(x)=1/y n ga ega bo‘lamiz, bu yerdan g(y) = any n + an-1y n–1 + . . . + a1y +a0 = 0. Teoremaning isbot qilingan qismiga ko‘ra g(y) ko‘phadning yn=1/xk ildizlari (nollari) ushbu tengsizlikni qanoatlantiradi, bundan esa quyidagi ekanligi kelib chiqadi: Eslatma: Bu teoremadagi r va R sonlar (1.2) tenglama musbat ildizlarining quyi va yuqori chegaralari bo‘ladi. Shunga o‘xshash –r va –R sonlar manfiy ildizlarning mos ravishda quyi va yuqori chegarasi bo‘ladi. Ildizlarning chegaralari uchun bu teoremadagi baho ancha qo‘poldir. Quyidagi teoremalar bunga nisbatan ancha yaxshiroq baholarni beradi. 4-teorema(Lagranj teoremasi). n-darajali haqiqiy koeffisiyentli (1.2) algebraik tenglama musbat haqiqiy ildizlarining ko‘phadning manfiy koeffitsiyentlaridan eng birinchisining nomeri; B – ko‘phad manfiy koeffitsiyentlari ichidan moduli bo‘yicha eng kattasining qiymati. 16 (1.2) tenglama musbat haqiqiy ildizlarining quyi chegarasi yordamchi tenglamadan aniqlaymiz. Xususan, (1.2) tenglama musbat haqiqiy ildizlarining yuqori chegarasi R1 bo‘lsa, u holda quyi chegarasi 1/ R1 bo‘ladi. Bu aytilganlarga ko‘ra (1.2) tenglamaning barcha musbat haqiqiy ildizlari Rb < RB intervalda yotadi. Xuddi shunday, (1.2) tenglamaning barcha manfiy haqiqiy ildizlari yotgan intervalni topish uchun quyidagi funksiyalardan foydalaniladi: ( ) ( ) 2 P x P x n n va x P x x Pn n n 1 ( ) 3 . Bularga ko‘ra Rb < RB ; 3 1 R Rb ; 2 RB R2 . Lagranj formulasi barcha haqiqiy musbat yoki manfiy ildizlar yotgan intervalni aniqlash imkonini beradi, ammo har bir ildiz yotgan intervalni topish uchun esa qo‘shimcha tadqiqod o‘tkazish lozim bo‘ladi. 5-teorema (Nyuton teoremasi). Agar x=c>0 uchun f(x) ko‘phad va uning barcha ( ), ( ), . . . , ( ) ( ) f x f x f x n hosilalari nomanfiy bo‘lsa, yani ( ) 0 ( 0, 1, . . . , ) ( ) f c k n k , u holda R=c ni (1.2) tenglamaning musbat ildizlari uchun yuqori chegara deb hisoblash mumkin. Isbot. Teylor formulasiga ko‘ra n n x c n f c f x f c f c x c ( ) ! ( ) ( ) ( ) ( )( ) . . . ( ) . Teorema shartiga ko‘ra x>c bo‘lganda bu tenglikning o‘ng tomoni musbatdir. Demak, (1.2) tenglamalarning barcha x + musbat ildizlari x +< b) sonlarni olib, x ni a dan b gacha o‘zgartirganda f(x) uchun tuzilgan Shturm qatorida nechta ishora almashinishlar yo‘qolsa, f(x) ning (a,b) oraliqda xuddi shunday haqiqiy ildizlari mavjud bo‘ladi. Shturm teoremasi ildizlarni ajratish masalasini to‘la hal qiladi, lekin Shturm qatorini tuzish bilan bog‘liq bo‘lgan hisoblashlar ko‘p vaqt talab qiladi. Shturm teoremasining qo‘llanilishi quyidagichadir. Avval (1.2) tenglamaning barcha ildizlari yotgan oraliqning chegaralari aniqlanadi. Topilgan [a,b] kesma j nuqtalar bilan kichik oraliqchalarga bo‘linadi. Shturm teoremasi yordamida tenglamaning [i,i+1] kesmadagi ildizlarining soni aniqlanadi. Agar bu kesmalarda ildizlarning soni bittadan ko‘p bo‘lsa, kesma ikkiga bo‘linadi va har bir kesma uchun Shturm teoremasi qo‘llaniladi. Bu jarayonni shu paytgacha davom ettiramizki, toki har bir kesmachalardagi ildizlar soni bittadan ortmasin. Shuni ham eslatib o‘tish 18 kerakki, Shturm qatoridagi fi(x) funksiyalarni musbat sonlarga ko‘paytirish yoki bo‘lish mumkin, bundan ishora almashtirishlar soni o‘zgarmaydi. Namunaviy mashqlar va ularning yechimlari 1-misol. Ushbu f(x)=3x 8–5x 7–6x 3–x–9=0 tenglama (ko‘phad)ning musbat va manfiy ildizlari chegarasini Lagranj formulasi yordamida aniqlang. Yechish. Berilganlarlarga ko‘ra: k=1; B=–9=9; an=3; 4 3 9 1 1 RB . Yordamchi tenglamani tuzamiz: P (x) n =9x 8+x 7+6x 5+5x–3 = 0, bu yerdan esa k=8; B=–3=3; an=9; 0,5 1,87 1 9 3 1 1 1 8 R Rb Bu yerdan musbat ildizlarning chegarasi 0,5 ≤ x + ≤ 4 ekanligi kelib chiqadi. Endi manfiy ildizlarning chegarasini aniqlaylik: ( ) ( ) 2 P x P x n n =3x 8 + 5x 7 + 6x 3 + x – 9 = 0; 1 3 2,0 3 9 1 8 8 RB ; x R x x Pn n b 1 ( ) 3 9x 8 – x 7 – 6x 5 – 5x – 3 = 0; k=8; B=–6=6; an=9; 0,6 5 3 3 5 1 9 6 1 1 1 4 R Rb . Bu yerdan esa manfiy ildizlarning chegarasi -2 ≤ x – ≤ 0,6 ekanligi kelib chiqadi. Har bir ildiz yotgan intervalni topish uchun esa qo‘shimcha tadqiqod o‘tkazish lozim bo‘ladi. Buni quyidagi misolda ko‘ramiz. 2-misol. Quyidagi tenglama haqiqiy ildizlarning chegarasini toping: ( ) 5 8 8 0 4 2 f x x x x Yechish. 3-teoremani qo‘llaymiz, bu yerda a0=1, A=8. Demak R=1+8=9, demak tenglamaning ildizlari (-9; 9) oraliqda yotar ekan. Endi Lagranj teoremasini qo‘llaymiz: a0=1, k=2, B=8. Musbat ildizlarning yuqori chegarasi uchun 1 2 2 3,84 1 8 R 1 ni hosil qilamiz. Berilgan tenglamada x ni –x ga almashtirsak, 19 ( ) 5 8 8 0 4 2 f 1 x x x x tenglama kelib chiqadi. Bu tenglama musbat ildizlarning yuqori chegarasi uchun ham R 2 uchun f (x) 0, f (x) 0, f (x) 0 IV va f (x) 0 . Osongina payqash mumkinki, x > 2, bo‘lsa f(x) ham faqat musbat qiymat qabul qiladi, ya’ni c=2 musbat ildizlarining yuqori chegarasi ekan. Xuddi shuningdek, f1(x)=0 tenglama musbat ildizlarning yuqoroi chegarasi c=3 ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Demak, berilgan tenglamaning ildizlari (–3; 2) kesmada yotar ekan (1.10-rasm). 1.10-rasm. f(x)=x 4 -5x 2+8x-8=0 funksiyaning Excel da chizilgan grafigi. Har uchula usul natijalarini solishtirsak, Nyuton usuli, garchi ko‘proq mehnat talab qilsada, ildizlar chegaralari uchun yaxshiroq natija berishi ko‘rinadi. 3-misol. Ushbu f(x)=x 4–x 3–2x 2+3x–3=0 tenglamaning ildizlarini analitik usul bilan ajrating. Yechish. Berilgan f(x) funksiya grafigining kritik nuqtalarini f (x) = 4x 3–3x 2–4x+3 = 0 yoki 4x(x 2–1)–3(x 2–1) = 0 yoki (4x–3)(x 2–1)=0 yoki (4x–3)(x–1) (x+1)=0 tenglamadan aniqlaymiz: x1 = –1; x2 = 1; x3 = 3/4. f(x) funksiya ishoralarining jadvalini quramiz: x – –1 3/4 1 + 20 sign f(x) + – – – + Bu jadvaldan ko‘rinadiki, berilgan f(x) funksiya ikkida haqiqiy ildizga ega: x1(–; –1] va x2[1; +). Ildizlar yotgan oraliqlarni kichraytiramiz: x – –2 3/4 1 +2 + sign f(x) + + – – + + Shunday qilib, haqiqiy ildizlar yotgan kesmalar: x1[–2;–1] va x2[1; 2].
|
| |
