|
Aniq integrallarni taqribiy hisoblash trapetsiyalar formulasi. Parobalalar metodi
|
| bet | 3/5 | | Sana | 20.02.2024 | | Hajmi | 177,28 Kb. | | #159334 |
Bog'liq Aniq intеgralni taqribiy hisoblash MT II. Trapetsiyalar formulasi. Soddalik uchun bu formulani I integral ostidagi funksiya f(x)>0 bo‘lgan holda qaraymiz.Bu yerda ham [a,b] integrallash kesmasini (8) nuqtalar bilan bir xil х uzunlikli n ta [xi–1, xi] (i=1, 2, ∙∙∙, n) kesmachalarga bo‘laklaymiz. So‘ngra y=f(x) funksiya grafigidagi Ai–1(xi–1, f(xi–1)) va Ai(xi, f(xi)) nuqtalarni to‘g‘ri chiziq kesmasi (vatar) bilan tutashtirib, egri chiziqli xi–1Ai–1 AAixi trapetsiyani to‘g‘ri chiziqli xi–1Ai–1Aixi trapetsiya bilan (75-rasmga qarang) almashtiramiz.
Bu holda to‘g‘ri chiziqli xi–1Ai–1Aixi trapetsiyaning yuzi
egri chiziqli xi–1Ai–1AAixi trapetsiyaning yuziga taqriban teng deb olish mumkin. Unda bu yuzalarning yig‘indisi aniq integralning taqribiy qiymatiga teng bo‘ladi, ya’ni
(12)
taqribiy formula o‘rinli bo‘ladi.
4-TA’RIF: Aniq integral uchun (12) taqribiy tenglik trapetsiyalar formulasi deyiladi.
Trapetsiyalar formulasining absolut xatoligi
(13)
formula bilan baholanadi.
Misol sifatida (11) aniq integralning taqribiy qiymatini n=10 bo‘lgan holda trapetsiyalar formulasi orqali hisoblaymiz. Oldingi hisoblash natijalaridan foydalanib,
taqribiy tenglikni hosil etamiz. Bunda hosil qilingan taqribiy natijaning absolut xatoligi
Δ=π/4–0.78498=0.7854–0.78498=0.0004
bo‘lib, to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi absolut xatoligiga (unda Δ=0.0255 ekanligini eslatib o‘tamiz) qaraganda ancha kichikdir. Demak, trapetsiyalar formulasi to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasiga nisbatan aniqroq natija beradi. Buni ularning xatoliklarini ifodalovchi (10) va (13) formulalar orqali ham ko‘rish mumkin.
Ko‘rib o‘tilgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar va trapetsiyalar formulalariga nisbatan aniq integralning taqribiy qiymatini aniqroq hisoblashga imkon beradigan boshqa kvadratur formulalar ham mavjudligini ta’kidlab o‘tamiz. Masalan, ingliz matematigi Simpson (1710 – 1761) tomonidan topilgan parabolalar formulasi, Chebishevning kvadratur formulasi shular jumlasidandir.
hisoblash murakkab bo‘lsa, unda ayrim hollarda bo‘laklab integrallash yoki o‘zgaruvchilarni almashtirish usullaridan foydalanish mumkin.
Bir qator hollarda integralning aniq qiymatini topish masalasi juda murakkab bo‘lishi mumkin. Bunday hollarda aniq integral qiymatini taqribiy hisoblash usullariga murojaat qilinadi. Ularga to‘g‘ri to‘rtburchaklar va trapetsiyalar formulalarini misol qilib ko‘rsatib bo‘ladi.
|
| |
