Bitiruv malakaviy ishining metodlari: Funksional analiz, kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi va matematika-fizika usullaridan foydalanildi.
Bitiruv malakaviy ishining tarkibi va hajmi: Kirish, 2 ta bob, 4 ta paragraf, har bir bob xulosasidan va xotima hamda foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.
I bob. Butun funksiya haqida umumiy tushunchalar
1.1. Butun funksiya va unga doir sodda misollar.
Ko’phad tushunchasining tabiiy umumlashmasi bu – hamma yerda yaqinlashuvchi darajali qatorlardir:
(1.1.1)
Agar bu yerda biror dan boshlab barcha koeffitsiyentlar nolga aylansa, bunday ko’phadlarning xususiy holi sifatida darajasi dan oshmaydigan ko’phadni hosil qilamiz:
(1.1.2)
O’rta maktab dasturidan bizga yaxshi ma’lum bo’lgan sodda darajali qator
hamma yerda yaqinlashuvchi emas, u faqat da yaqinlashuvchi bo’ladi. da yaqinlashuvchi bo’lishiga katta koeffitsiyentlar xalaqit beradi, bu yerda istalgan uchun .
(1.1.1) darajali qator barcha larda yaqinlashuvchi bo’lishi uchun
(1.1.3)
bo’lishi zarur va yetarli ekanligini ko’rsatish mumkin.
Biz bu shartning yetarlilik qismini isbotlari bilan kifoyalanamiz. bo’lsa,
(1.1.1) qator yaqinlashuvchi.
Faraz qilaylik, bo’lsin. U holda (1.1.3) shartga ko’ra shunday topilib, da
yoki tengsizlik bajariladi. Lekin bu (1.1.1) qatorning barcha hadlari da absolyut qiymati bo’yicha maxraji bo’lgan geometrik progressiya hadlaridan oshmaydi. Shu sababli (1.1.1) qator yaqinlashuvchi va absolyut yaqinlashuvchi hamdir.
Bundan keyin (1.1.3) shart bajarilsin deb faraz qilamiz. Ba’zida, (1.1.1) qator yaqinlashishining sodda yetarlilik sharti (lekin zarur bo’lmagan)
(1.1.)
shartdan foydalanish qulay.
Haqiqatan ham, bu holda (1.1.1) qatorning keyingi hadning oldingi hadga nisbati
nolga teng, va deb faraz qilinadi. Bundan Dalamber alomatiga ko’ra istalgan da qatorning absolyut yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
Masalan,
bo’lgani uchun
qator hamma yerda yaqinlashuvchi.
Xuddi shuningdek,
bo’lgani uchun
qator ham hamma yerda yaqinlashuvchi.
1.1.1-Ta’rif. Hamma yerda yaqinlashuvchi (1.1.1) darajali qator yig’indisiga butun funksiya deyiladi.
Bundan har bir ko’phad butun funksiya bo’lishi kelib chiqadi.
Butun funksiyalarga boshqa misol sifatida - ko’rsatkichli funksiya, , funksiyalarni keltirish mumkin. Haqiqatan ham, matematik analiz kursida Teylor formulasi yordamida ularning har biri yaqinlashuvchi darajali qator yig’indisi ko’rinishida tasvirlanadi:
(1.1.4)
(1.1.5)
(1.1.6)
Xususiy holda, bo’lsa, (1.1.4) formuladan
(1.1.)
ni hosil qilamiz. Bundan tashqari, yana ko’plab butun funksiyalarga sodda misollar qarash mumkin:
va hokazo.
Yuqoridagi barcha misollarda butun funksiyalar elementar funksiyalar (ko’rsatkichli va trigonometrik) yoki elementar funksiyalarning sodda kombinatsiyalaridir.
Albatta, butun funksiyalar hamisha ham butun funksiyalarning chekli kombinatsiyasi ko’rinishida tasvirlanmaydi. Masalan, quyidagi
,
,
butun funksiyalar va (1.1.3) shart bilan (1.1.1) qator ko’rinishidagi cheksiz ko’p funksiyalarni tasvirlab bo’lmaydi.
Hozirga qadar darajali qator koeffitsiyentlari haqiqiy va argument haqiqiy bo’lgan butun funksiyalarni tahlil qildik. Biroq berilgan qatorda ularning har ikkalasini kompleks son deb olishimizga hech nima xalaqit bermaydi, bunda (1.1.3) shart bajarilishi talab qilinadi. Aslida bu shart qatorning kompleks son modulining ixtiyoriy qiymatida yaqinlashuvchi bo’lishini ta’minlaydi. Bundan keyin almashtirmaslik uchun haqiqiy o’zgaruvchi uchun belgilashni, kompleks o’zgaruvchi uchun belgilashni ishlatamiz, bunda , va haqiqiy sonlar hamda . kompleks o’zgaruvchi odatdagidek tekislikdagi va koordinataga ega nuqta kabi tasvirlanadi. Xususiy holda da haqiqiy qiymatni qabul qiladi. Har qanday butun funksiyani kompleks tekislikda aniqlangan kompleks o’zgaruvchili funksiya sifatida qarash mumkin. Ko’rsatkichli va trigonometrik funksiyalar uchun avvalgi nomlanishni qoldirib,
, (1.1.7)
, (1.1.8)
(1.1.9)
ga ega bo’lamiz.
Butun funksiyalar kompleks o’zgaruvchili analitik funksiyaning xususiy holi bo’ladi.
1.1.2-Ta’rif. Agar tekislikdagi biror sohaning har bir nuqtasiga aniq bir kompleks son mos qo’yilgan bo’lsa, sohada kompleks o’zgaruvchili funksiya berilgan deyiladi, bunda ga funksiyaning nuqtadagi qiymati deyiladi va kabi yoziladi.
ning o’rniga lotin yoki grek alifbosining boshqa harflari ham ishlatilishi mumkin.
1.1.3-Ta’rif. Agar ga tegishli har bir nuqta uchun uning shunday atrofi topilib, bu atrofda funksiyani ning darajalaridan iborat
(1.1.10)
darajali qator yig’indisi ko’rinishida tasvirlash mumkin bo’lsa, kompleks o’zgaruvchili funksiya sohada analitik deyiladi.
Xususiy holda, agar soha markazi nuqtada bo’lgan doira bo’lsa, funksiyaning sohada analitikligi uchun (1.1.10) qator bu doirada funksiyani berishini talab qilish yetarli. Umuman olganda, funksiyaning boshqa nuqtadagi yoyilmasini olish uchun
deb olish yetarli, qatorning har bir hadini ning darajali bo’yicha yoyib, so’ngra ning darajali oldidagi koeffitsiyentlarni yig’ish yetarli.
Doiraviy soha uchun o’rinli mulohazalarni kompleks tekislik uchun ham qo’llash mumkin, tekislikni markazi istalgan nuqtada bo’lgan cheksiz radiusli doira sifatida qarash mumkin, masalan koordinata boshida.
Bu holda (1.1.10) formulada deb olish mumkin va qator tekislikda yaqinlashuvchi bo’lishini talab qilish kerak.
Shunday qilib, butun funksiyani kompleks tekislikdagi kompleks o’zgaruvchining analitik funksiyasi sifatida aniqlash mumkin.
1.1.4-Ta’rif. Agar dagi
nisbat limitiga (agar u mavjud bo’lsa) kompleks o’zgaruvchili funksiyaning nuqtadagi hosilasi deyiladi va
.
Hosilaning bu ta’rifidan haqiqiy o’zgaruvchili funksiyalar uchun kiritilgan differensiallash qoidasi kompleks o’zgaruvchili funksiya uchun ham o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.
Xususan,
.
Markazi nuqtada bo’lgan biror doirada yaqinlashuvchi bo’lgan (1.1.10) darajali qator yig’indisi bu doirada istalgan tartibli hosilaga ega bo’lishini ko’rsatish mumkin. Ularning har biri (1.1.10) qatorni hadlab differensiallash yo’li bilan topiladi:
,
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Masalan, (1.1.7), (1.1.8), (1.1.9) formulalardan hadlab differensiallash yo’li bilan
ni hosil qilamiz.
uchun qatorda deb olamiz va
ni hosil qilamiz. Shu sababli darajali qatorning koeffitsiyentlari qator yig’indisidan olingan hosilaning nuqtadagi qiymati bilan ifodalanadi. Demak, funksiya uchun qatorni
kabi yozish mumkin. Bu ko’rinishidagi qatorga funksiyani Teylor qatori deyiladi. Shunday qilib, analitik funksiyani tasvirlovchi darajali qator u uchun Teylor qatori bo’lar ekan.
Hosil qilingan ifodalardan darajali qator koeffitsiyenti uchun quyidagi tasdiq kelib chiqadi. Agar ning darajalari bo’yicha yoyilgan ikkita darajali qatorlar yig’indisi, markazi nuqtada bo’lgan biror doirada ustma-ust tushsa u holda ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlar o’zaro teng bo’lishi kerak.
Aslida, agar
bo’lsa, u holda
va
bo’ladi, ya’ni larda bo’ladi.
Darajali qator yig’indisi hosilaga ega ekanligidan sohada analitik bo’lgan funksiya bu sohaning har bir nuqtasida hosilaga ega bo’lishi, ya’ni sohada differensiallanuvchi bo’lishi kelib chiqadi. Shu sababli, funksiya sohada uzluksiz ham bo’ladi.
Teskari teorema ham o’rinlidir:
Agar kompleks o’zgaruvchili funksiya biror sohada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda u bu sohada analitik bo’ladi.
Shu sababli, kompleks o’zgaruvchili analitik funksiya ta’rifini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
1.1.5-Ta’rif. Agar funksiya biror sohada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda funksiya bu sohada analitik deyiladi.
Aynan bu ta’rif odatda funksiyalar nazariyasiga oid kitoblarda keltiriladi.
Shunday qilib, butun funksiyani tekislikda differensiallanuvchi funksiya sifatida aniqlash mumkin ekan.
Faraz qilaylik, va lar biror butun funksiyalar bo’lsin, u holda differensiallash qoidasiga ko’ra:
,
,
(agar ) ,
tenglik o’rinlidir.
Dastlabki ikkita formulaga ko’ra butun funksiyalarning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi yana butun funksiya bo’lishi kelib chiqadi.
Uchinchi formulaga ko’ra: agar bo’luvchi nolmas bo’lsa, ikkita butun funksiyalar nisbati yana butun funksiya bo’ladi.
To’rtinchi formula murakkab funksiyani differensiallash qoidasi bo’lib, undan butun funksiyaning butun funksiyasi murakkab funksiya sifatida butun bo’lishi kelib chiqadi.
Masalan,
funksiyalar butun funksiyalardir.
Qatorning absolyut yaqinlashuvchiligiga ko’ra hamma yerda yaqinlashuvchi darajali qatorlar chekli yig’indilar ega bo’lgan ko’plab xossalarga egadir.
Hech bo’lmaganda qo’shish, ayirish va ko’paytirish amallari xuddi ko’phadlarni qo’shish, ayirish va ko’paytirish kabi bajariladi.
Masalan, agar
,
bo’lsa, u holda
(1.1.11)
bo’ladi. Agar ning nolmasligi ma’lum bo’lsa, u holda ham butun funksiya bo’ladi. Mos darajali qator qatorni qatorga ko’phadlarni bo’lish qoidasi bo’yicha bo’lishdan hosil qilinadi.
Bir nechta dastlabki qadamlarni amalga oshirib:
ni hosil qilamiz. Natijada
(1.1.12)
bo’ladi. Bu yerda koeffitsiyentlar yuqorida topilgan qiymatlarga ega. Har bir koeffitsiyent o’zidan oldingi koeffitsiyentlar orqali
(1.1.13)
formula orqali topiladi.
(1.1.7), (1.1.8) va (1.1.9) butun funksiyalarni qaraymiz. (1.1.7) formuladan deb olamiz, bu yerda kompleks o’zgaruvchi. Bundan
ni topamiz. (1.1.8) va (1.1.9) formulalarni taqqoslab
(1.1.14)
formulaga ega bo’lamiz. Bu ko’rsatkichli funksiyani trigonometrik funksiya orqali ifodalovchi mashhur Eyler formulasidir. (1.1.8) va (1.1.9) formulalardan ko’rinib turibdiki,kosinus funksiya yoyilmasi o’zgaruvchining faqat juft darajalarini, sinus funksiya yoyilmasi esa faqat toq darajalarni saqlaydi. Shu sababli, kompleks o’zgaruvchili kosinus funksiya juft, sinus esa toq funksiya bo’ladi. (1.1.14) formulada ni ga almashtirsak
(1.1.15)
hosil bo’ladi.
(1.1.14) va (1.115) ni hadma-had qo’shib va ayirib yana ikkita Eyler formulasini topamiz:
(1.1.16)
Eyler formulasiga ko’ra kompleks o’zgaruvchili, ko’rsatkichli va trigonometrik funksiyalar butun funksiyalar dunyosida yaqin qarindosh deb aytish mumkin.
Qatorlarni ko’paytirishga doir misol sifatida va lar uchun qatorlarni ko’paytiramiz, bu yerda va lar ixtiyoriy kompleks sonlar
,
bo’lganligi uchun
o’rinli, bundan esa
(1.1.17)
kelib chiqadi.
Bu ko’rsatkichli funksiya uchun qo’shish teoremasidir. Ko’rinib turibdiki, bu funksiyaning ikkita qiymatini ko’paytirishdan mos va ko’rsatkichlar qo’shiladi.
Xususiy holda, va deb olsak,
(1.1.18)
hosil bo’ladi. Bu formulaga ko’ra sonlar ko’paytmasi nolmas bo’lib, ko’rsatkichli funksiya hamisha noldan farqli ekanligi kelib chiqadi. Demak, tenglama nafaqat haqiqiy, balki mavhum ildizlarga ham ega bo’lmaydi.
(1.1.18) tenglikka ko’ra xususiy misolda ikkita butun funksiyalar nisbati yana butun bo’lishini ko’rsatadi. nisbat bu shartni qanoatlantiradi. (1.1.18) formuladan
kelib chiqadi, bu haqiqatan ham butun funksiyadir.
Hech qayerda nolga teng bo’lmaydigan butun funksiyani ko’rinishda tasvirlash mumkinligini isbotlaymiz. Bu yerda ham butun funksiyadir. Tushunarliki, nisbatni ko’paytma ko’rinishida tasvirlash mumkin, bu yerdan uning butun funksiya ekanligi kelib chiqadi.
(1.1.14) va (1.1.15) ni hadma-had ko’paytirib:
ga yoki (1.1.18) tenglikka ko’ra:
(1.1.19)
ga ega bo’lamiz. Demak, kompleks o’zgaruvchili kosinus va sinuslar kvadratlari yig’indisi 1 ga teng.
(1.1.17) tenglikda ni ixtiyoriy kompleks son deb, deb olamiz, hamda
ga ega bo’lamiz.
Biroq, (1.1.14) – Eyler formulasiga ko’ra:
Shu sababli,
(1.1.20)
ya’ni ko’rsatkichli funksiya sof mavhum bo’lgan davrga ega davriy funksiyadir. kompleks sonning moduli va argumentini hisoblaymiz. (1.1.17) formulaga ko’ra:
o’rinlidir.
Biroq ; shu sababli,
Natijada ning trigonometrik shakldagi tasviri ni hosil qildik. Undan
;
kelib chiqadi.
Hosil qilingan birinchi formulaga ko’ra ning modulini hisoblash uchun ko’rsatkichli faqat haqiqiy qismni saqlash, qo’shiluvchini tashlab yuborish yetarlidir. Masalan,
Ushbu
(1.1.21)
tenglamani qaraymiz. da bu tenglama yechimga ega emasligi msa’lum, shu sababli deb olamiz. va kompleks sonlarning tengligidan ularning modullari teng, argumentlari esa ga karrali songa farq qilishi kelib chiqadi. Agar bo’lsa, u holda ning moduli ga, ning argumentlaridan biri ga tengdir. Shu sababli, (1.1.21) dan
,
tengliklar kelib chiqadi.
Demak, va
(1.1.22)
Shunday qilib, (1.1.21) tenglamaning ixtiyoriy ildizi (1.1.22) formula yordamida topiladi. Aksincha, (1.1.22) ko’rinishdagi istalgan son (ular cheksiz ko’p) bu tenglamaning yechimi bo’ladi. Haqiqatan ham,
.
Shunday qilib, (1.1.21) tenglama ixtiyoriy nolmas soni uchun cheksiz ko’p (1.1.22) ko’rinishidagi yechimlarga ega, boshqacha aytganda cheksiz katta darajali
tenglama ixtiyoriy nolmas soni uchun cheksiz ko’p yechimga ega.
(1.1.21) tenglamaning har bir yechimi kompleks sonning natural logarifm qiymati deyiladi. ni hosil qilish uchun ni ko’tarish kerak bo’lgan ko’rsatkich darajani orqali belgilab (1.1.22) formulani
(1.1.22)
ko’rinishida yozib olamiz, bu yerda
Bundan ixtiyoriy nolmas kompleks son cheksiz ko’p logarifm qiymatiga ega ekanligi va ular bir-birlaridan ga karrali son bilan farqlanishi kelib chiqadi.
(1.1.22) formulada deb olinsa, logarifmning bosh qismi deb ataluvchi
(1.1.22)
hosil bo’ladi.
(1.1.21) tenglamada kompleks sonni o’zgaruvchi deb ataymiz va unga mos qiymatni ning funksiyasi sifatida qaraymiz. Bu funksiya ko’rsatkichli funksiyaga teskari funksiyadir. butun kompleks tekislikda aniqlangan ko’p o’zgaruvchili funksiyadir, bundan tashqari nuqtada u (1.1.22) formula orqali tasvirlanadi.
Teskari funksiyani differensiallash qoidasiga ko’ra hosila mavjud va
ga teng. ning o’rniga kompleks o’zgaruvchini ishlatamiz. U holda
,
.
funksiya butun funksiya emas. Birinchidan, u nuqtada aniqlanmagan (bu nuqtada u cheksizga teng bo’ladi), ikkinchidan, u ko’p qiymatli funksiyadir. Uning qiymatlari bir-biridan ga karrali songa farq qiladi.
Lekin agar - tekislikning biror nuqtasida ham nolga aylanmaydigan butun funksiya bo’lsa , u holda funksiya ham butun funksiya bo’ladi, aniqroq aytganda funksiya cheksiz ko’p butun funksiyalar bo’lib, bir-biridan ga karrali songa farq qiladi.
Haqiqatan ham, funksiyani differensiallashni umumiy formulasiga ko’ra
,
ya’ni funksiya kompleks tekislikning har bir nuqtasida hosilaga ega.
Misol sifatida deb olamiz. U holda
;
lekin va , shu sababli
o’rinli. Ko’rinib turibdiki, funksiya cheksiz ko’p
funksiya ko’rinishida tasvirlanadi.
Yuqorida bayon qilingan mulohazalardan quyidagi teorema kelib chiqadi:
1.1.1-Teorema. Agar butun funksiya biror nuqtada ham nolga aylanmasa,
uni
ko’rinishda tasvirlash mumkin, bu yerda biror butun funksiya.
Isbot. Aslida isbot qilingan mulohazaga ko’ra funksiya cheksiz ko’p butun funksiyalardan iborat bo’lib, ular bir-biridan ga karrali songa farq qiladi. Agar ulardan birini orqali belgilasak, u holda
bo’ladi va shu sababli
o’rinlidir. Bunda biz ning ko’rsatkichli funksiya uchun davr ekanligidan foydalandik.
Teorema isbotlandi.
| 