| 1.2 Kompleks o’zgaruvchili va ko’rsatkichli funksiyalar
Kompleks sonlar tekisligi da biror to’plam berilgan bo’lsin: ⊂.
1.2.1-Ta’rif. Agar to’plamdagi har bir kompleks songa bitta kompleks son mos qo’yilgan bo’lsa, to’plamda funksiya berilgan (aniqlangan) deyiladi va u
yoki
kabi belgilanadi. Bunda funksiyaning aniqlanish to’plami, - erkli o’zgaruvchi yoki funksiya argumenti, esa o’zgaruvchining funksiyasi deyiladi.
Aytaylik, funksiya biror to’plamda berilgan bo’lsin, ya’ni qoidaga ko’ra har bir kompleks songa bitta kompleks son mos qo’yilgan bo’lsin. Demak, . Keyingi tenglikdan
,
bo’lishi kelib chiqadi.
Demak, to’plamda funksiyaning berilishi shu to’plamda va haqiqiy o’zgaruvchilarning , funksiyalarning berilishidek ekan.
Odatda, funksiya funksiyaning haqiqiy qismi, esa ning mavhum qismi deyiladi: .
1.2.1 – misol. Ushbu funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlarini toping.
Berilgan funksiyada ekanini e’tiborga olib, uni ko’rinishda yozib, quyidagi tenglikni topamiz:
Demak,
.
Erkli o’zgaruvchi to’plamda o’zgarganda funksiyaning mos qiymatlaridan iborat to’plam
bo’lsin. Odatda bu to’plam funksiya qiymatlari to’plami deyiladi.
Demak, to’plamda funksiyaning berilishi – kompleks tekislikdagi to’plamni (to’plam nuqtalarini) – kompleks tekislikdagi to’plamga (to’plam nuqtalariga) aks ettirishdan iborat ekan.
1.2.1-chizma. Bu chizmada funksiyaning aksi berilgan.
Shu sababli, funksiyani to’plamning to’plamga akslantirish deb ham yuritiladi.
Faraz qilaylik, funksiya to’plamda berilgan bo’lib,
bo’lsin. So’ngra to’plamda o’z navbatida biror funksiya berilgan bo’lsin.
Natijada, to’plamdan olingan har bir ga to’plamda bitta son va to’plamdan olingan bunday songa bitta 𝜁 son mos qo’yiladi:
Demak, to’plamdan olingan har bir ga bitta 𝜁 son mos qo’yilib, funksiya hosil bo’ladi. Bunday funksiya murakkab funksiya deyiladi va kabi belgilanadi.
funksiya to’plamda berilgan bo’lib, esa shu funksiya qiymatlaridan iborat to’plam bo’lsin: .
to’plamdan olingan har bir songa to’plamda bitta son mos qo’yilishini ifodalovchi funksiya funksiyaga nisbatan teskari funksiya deyiladi va kabi belgilanadi.
Faraz qilaylik, funksiya to’plamda berilgan bo’lsin.
1.2.2-Ta’rif. Agar argumentning to’plamdan olingan turli qiymatlarida funksiyaning mos qiymatlari ham turlicha bo’lsa, boshqacha aytganda tenglikdan tenglik kelib chiqsa, funksiya to’plamda bir yaproqli (yoki bir varaqli) funksiya deyiladi.
1.2.2 – misol. Ushbu funksiyaning to’plamda bir yaproqli bo’lishini ko’rsating.
Aytaylik, uchun , ya’ni bo’lsin. Ravshanki, keyingi tenglikdan ya’ni bo’lishi kelib chiqadi. Demak,
.
Bu esa berilgan funksiyaning da bir yaproqli ekanini bildiradi.
Faraz qilaylik, funksiya to’plamda berilgan bo’lib, nuqta to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
1.2.3-Ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, argumentning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida
tengsizlik bajarilsa, kompleks son funksiyaning dagi limiti deb ataladi va
kabi belgilanadi.
1.2.4-Ta’rif. Agar son uchun son topilsaki, argumentning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida
tengsizlik bajarilsa, dagi funksiyaning limiti deyiladi.
Aytaylik, nuqta to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
1.2.5-Ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, argumentning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida
tengsizlik bajarilsa, kompleks son funksiyaning dagi limiti deyiladi va
kabi belgilanadi.
Endi hamda kompleks sonlarni
,
,
deb, so’ng
ekanligini e’tiborga olib, da funksiyaning limitga ega bo'lishi da hamda funksiyalarning mos ravishda va limitlarga ega bo’lishiga ekvivalent ekanligini ifodalovchi teoremani keltiramiz.
1.2.1-Teorema. funksiyaning da limitga,
ega bo’lishi uchun
,
bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. Aytaylik,
bo’lsin. Limit ta’rifiga binoan son olinganda ham son topiladiki, argumentning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida
tengsizlik bajariladi.
Ravshanki,
bo’lib,
bo’lishidan
,
bo’lishi kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan quyidagi
,
tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Demak, son olinganda ham son topiladiki, , bo’lganda
,
tengsizliklar bajariladi. Bu esa
,
ekanligini bildiradi.
Yetarliligi. Aytaylik,
,
bo’lsin. Limit ta’rifiga asosan, son olinganda ham, ga ko’ra shunday son topiladiki,
,
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy da
,
shuningdek,
tengsizliklar bajariladi. Bu tengsizliklardan foydalanib topamiz:
.
Demak,
.
Teorema isbot bo’ldi.
1.2.2 – misol. Ushbu limitni hisoblang.
Avvalo berilgan funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlarini
topamiz:
.
Demak,
.
Ma’lumki,
.
Unda 1.2.1-teoremaga muvofiq
bo’ladi. Yuqorida keltirilgan teorema kompleks o’zgaruvchili funksiyaning limitini o’rganishni haqiqiy o’zgaruvchili funksiyaning limitini o’rganishga keltirilishini ifodalaydi.
Aytaylik, hamda funksiyalar to’plamda berilgan bo’lib, nuqta to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
Agar
,
bo’lsa, u holda
,
,
bo’ladi.
Faraz qilaylik, funksiya to’plamda berilgan bo’lib, nuqta shu to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
1.2.6-Ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, argumentning tengsizligini qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida
tengsizlik bajarilsa, funksiya nuqtada uzluksiz deb ataladi.
(Ravshanki, bu holda
bo’ladi).
Odatda, ayirma funksiya argumentining orttirmasi deyiladi va kabi belgilanadi:
.
Ushbu
ayirma esa funksiya orttirmasi deyiladi. U kabi belgilanadi:
Shu tushunchalardan foydalanib, funksiyaning nuqtada uzluksizligini quyidagicha ham ta’riflash mumkin.
1.2.7-Ta’rif. Agar da ham nolga intilsa,
funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
1.2.8-Ta’rif. Agar funksiya to’plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, funksiya to’plamda uzluksiz deyiladi.
1.2.3 – misol. Ushbu
funksiyaning ixtiyoriy nuqtada uzluksiz bo’lishini ko’rsating.
nuqtani olaylik. Bu nuqtaga orttirma berib, funksiya orttirmasini topamiz:
.
Ravshanki,
.
Demak, berilgan funksiya nuqtada uzluksiz bo’ladi.
Aytaylik, funksiya nuqtada uzluksiz bo’lsin:
.
So’ng
deylik.
Yuqorida keltirilgan 1.2.1-teoremaga ko’ra
munosabat
munosabatlarga ekvivalent bo’ladi. Bundan esa quyidagi teorema kelib chiqadi.
1.2.2-Teorema. funksiyaning nuqtada uzluksiz bo’lishi uchun
,
funksiyalarning nuqtada uzluksiz bo’lishi zarur va yetarli.
Demak, kompleks o’zgaruvchili funksiyaning nuqtada uzluksiz bo’lishi, ikkita haqiqiy o’zgaruvchili
,
funksiyalarning nuqtada uzluksiz bo’lishiga ekvivalent bo’lar ekan. Bundan, haqiqiy o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalar haqidagi tasdiqlar kompleks o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalarda ham o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.
Jumladan, quyidagi tasdiqlar o’rinlidir:
1) Agar hamda funksiyalar nuqtada uzluksiz bo’lsa,
,
funksiyalar ham nuqtada uzluksiz bo’ladi.
2) Agar funksiya yopiq to’plamda uzluksiz bo’lsa, funksiya da chegaralangan bo’ladi, ya’ni shunday o’zgarmas son mavjudki, uchun
bo’ladi.
3) Agar funksiya yopiq to’plamda uzluksiz bo’lsa, funksiya moduli da o’zining aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga erishadi, ya’ni shunday nuqtalar topiladiki, uchun
,
bo’ladi.
4) Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo’lsa, funksiya ham shu nuqtada uzluksiz bo’ladi.
funksiya to’plamda berilgan bo’lsin.
1.2.9-Ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, to’plamning tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va nuqtalarda
tengsizlik bajarilsa, funksiya to’plamda tekis uzluksiz deyiladi.
1.2.3-Teorema. (Kantor teoremasi) Agar funksiya chegaralangan yopiq to’plamda uzluksiz bo’lsa, funksiya shu to’plamda tekis uzluksiz bo’ladi.
Isbot. Aytaylik,
funksiya chegaralangan yopiq to’plamda uzluksiz bo’lsin. 1.2.2-teoremaga ko’ra haqiqiy o’zgaruvchili va funksiyalar ham shu to’plamda uzluksiz bo’ladi. Ayni paytda bu funksiyalar da tekis uzluksiz ham bo’ladi.
Unda son uchun shunday son topiladiki, ushbu
(1.2.1)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy , nuqtalarda
,
(1.2.2)
tengsizliklar bajariladi.
Agar , deyilsa, unda (1.2.1) va (1.2.2) munosabatlardan foydalanib,
,
bo’lishini topamiz.
Shunday qilib, son uchun shunday son topiladiki, to’plamning tengsizlikni qanoatlantiradigan nuqtalarida
tengsizlik bajarilar ekan. Bu esa funksiyaning da tekis uzluksiz bo’lishini bildiradi.
Teorema isbot bo’ldi.
Kompleks sonlar tekisligi da ixtiyoriy ni olib, quyidagi
ketma-ketlikni qaraymiz. Bu kompleks sonlar ketma-ketligi da limitga ega bo’lishini ko’rsatamiz.
Agar desak, unda
bo’ladi.
Endi moduli va argumentini topamiz:
,
Agar
,
bo’lishini e’tiborga olsak, bundan
,
bo’lib,
(1.2.3)
(1.2.4)
bo’lishi kelib chiqadi.
Modomiki, ketma-ketlikning moduli ning hamda argumenti ning limiti mavjud ekan, unda ketma-ketlikning ham limiti mavjud bo’ladi. Ravshanki, bu limit o’zgaruvchiga bog’liq bo’ladi.
1.2.10-Ta’rif. Ushbu
ketma-ketlikning limiti funksiya deyiladi.
Demak,
Odatda
(1.2.5)
funksiyani ko’rsatkichli funksiya deyiladi.
Keltirilgan ta’rif hamda (1.2.3) va (1.2.4) munosabatlardan ko’rinadiki,
,
(1.2.6)
bo’ladi.
Endi funksiyaning asosiy xossalarini keltiramiz.
1.2.1-xossa. Ko’rsatkichli funksiya butun kompleks tekislikda golomorf funksiya
bo’ladi.
Haqiqatan ham,
deb, (1.2.6) munosabatdan foydalanib,
,
bo’lishini topamiz. Ravshanki, bu funksiyalar ma’noda differensiallanuvchi. Ayni paytda bu funksiya uchun
,
,
bo’lib,
,
bo’ladi (Koshi-Riman sharti bajariladi).
1.2.2-xossa. funksiya kompleks tekislik ning har bir nuqtasida hosilaga ega
va bo’ladi.
.
1.2.3-xossa. Ko’rsatkichli funksiya uchun ushbu
formula o’rinli bo’ladi.
Aytaylik, , bo’lsin. Unda
,
bo’ladi.
Kompleks sonlarni ko’paytirish formulasidan foydalanib topamiz:
.
Demak,
.
1.2.4-xossa. Ko’rsatkichli funksiya
davriy funksiya bo’lib, uning davri ga teng.
Eyler formulasiga ko’ra
bo’lishini e’tiborga olib, hamda ko’rsatkichli funksiyaning 1.2.3 – xossasidan foydalanib uchun
bo’lishini topamiz. Demak,
.
Bu esa funksiyaning davriy funksiya ekanini, uning davri ga tengligini bildiradi.
Endi funksiya yordamida bajariladigan akslantirishni o’rganamiz.
Ko’rsatkichli funksiyaning hosilasi uchun
bo’lganligi sababli, bu funksiya yordamida bajariladigan akslantirish tekislikning har bir nuqtasida konform akslantirish bo’ladi.
Aytaylik, funksiya tekislikning ixtiyoriy turli va nuqtalarini tekislikdagi bitta nuqtasiga akslantirsin. Unda
ya’ni
bo’lib,
(1.2.7)
bo’lishi kelib chiqadi.
Demak, funksiya tekislikdagi biror sohada o’zaro bir qiymatli funksiya bo’lishi uchun shu sohaga tegishli bo’lgan turli va nuqtalarda (1.2.7)-shartni bajarilmasligi zarur va yetarli.
Masalan, bunday soha sifatida
sohani olish mumkin.
Demak, funksiya yordamida bajariladigan akslantirish bu sohaning har bir nuqtasida konform bo’lib, funksiya shu sohada o’zaro bir qiymatli ekan. Binobarin, funksiya yordamida bajariladigan akslantirish sohada konform akslantirish bo’ladi.
Endi sohaning aksi ni topamiz.
Ushbu
to’g’ri chiziqni olaylik. Bunda va tayinlangan bo’lib, . Ravshanki, bu to’g’ri chiziq o’qiga parallel bo’lib, sohaga tegishli bo’ladi.
funksiya yordamida bu to’g’ri chiziq tekislikdagi
(1.2.8)
ga akslanadi. (1.2.8) - tekislikdagi 0 nuqtadan chiqqan
nurni ifodalaydi.
1.2.2-chizmada funksiya yordamida tekislikdagi to’g’ri chiziqni tekislikdagi nurga akslanishi keltirilgan.
parametr dan gacha o’zgara borsa, unda
to’g’ri chiziqlar
sohani hosil qilib, bu chiziqlarning funksiya yordamidagi akslari
nurlar esa soat strelkasiga qarshi harakatlana borib, tekislikni to’ldira boradi.
Bunda
to’g’ri chiziqlarning aksi mos ravishda
,
bo’lib, ular tekislikda
nurni ifodalaydi.
Shunday qilib,
funksiya yordamida bajariladigan akslantirish tekislikdagi
sohani, tekislikdagi
sohaga konform akslantirar ekan.
1.2.3-chizmada funksiya yordamidagi akslantirish tasvirlangan.
Endi tekislikda
, (1.2.9)
bunda va tayinlangan bo’lib, to’g’ri chiziq qismini olaylik.
Ravshanki, u mavhum o’qqa parallel bo’lib, sohaga tegishli bo’ladi.
funksiya yord amida (1.2.9) tekislikdagi
(1.2.10)
ga akslanadi. (1.2.10)-markazi 0 nuqtada, radiusi ga teng va nuqtaga ega bo’lmagan aylanani ifodalaydi:
1.2.4-chizmada funksiya yordamida to’g’ri chiziqning aylanaga akslanishi tasvirlangan.
Demak,
.
|
