Shunday qilib to’liqmas bo’linma q-bu A to’plamni ajratishdagi (har birida b tadan element bo’lgan) teng quvvatli qism to’plamlar soni, qoldiq r-X to’plamdagi elementlar soni. Qoldiqli bo’lish bilan tanishish misol tariqasida 9 ta boladan 4 ta juft tuzish va bitta bola juftsiz qolish vaziyatini qarab chiqishda yuz beradi, ya’ni to’liqmas bo’linma va qoldiq bilan tanishish, mohiyatiga ko’ra, nazariy to’plam asosida yuz beradi. Qoldiqli bo’lishning quyidagicha yozilishidan foydalaniladi.
9:2=4(1 qoldiq).
Agar bo’lishda qoldiq qolsa, u holda qoldiq bo’luvchidan har doim kichik bo’lishi ta’kidlab o’tiladi.
Natural sonning ma’nosi va sonlar-kattaliklarni o’lchash natijalari ustida amallar ma’nosi.
а va b kesmalar berilgan bo’lsin. Bu kesmalarga teng kesmalarni boshi 0 nuqtada bo’lgan biror nurga qo’yamiz. OA=ava OВ=b kesmalarni hosil qilamiz. Uchta hol bo’lishi mumkin.
1. AvaВ nuqtalar ustma-ust tushadi (1.1-chizma). U holda OA va OВ- bitta kesma, a va b kesmalar esa unga teng, demak, a=b.
2.В nuqta OA kesma ichida yotadi (1.2-chizma). U holda OВ kesma OA kesmadan kichik (yoki OA kesma OВ kesmadan katta) deyiladi va bunday yoziladi: OВOВ) yoki b (a>b).
3. A nuqta OВ kesma ichida yotadi.(1.3-chizma) U holda OA kesma OВ kesmadan kichik deyiladi va bunday yoziladi:
OAa (b>a).
(A va B nuqtaning kesmada tasvirlanishi)
Kesmalar ustida turli amallar bajariladi.
Ta’rif: Agar a kesma а1,а2…..,аn kesmalarning birlashmasi bo’lib, kesmalarning birortasi ham ichki umumiy nuqtaga ega bo’lmasa (bir-biri bilan ustma-ust tushmasa) va bir kesma ikkinchi kesmaning oxiriga birin-ketin tutashsa, a kesma bu kesmalarning yig’indisi deyiladi.
Bunday yoziladi: а=а1+а2+…..+аn .
Masalan, 1.4-chizmada tasvirlangan a kesmani а1,а2,а3,а4 kesmalarning yig’indisi deyish mumkin.
1.4-chizma. а1,а2,а3,а4 kesmalarning yig’indisi.
Ta’rif: a va b kesmalarning a-b ayirmasi deb, shunday с kesmaga aytiladiki, uning uchun b+с=a tenglik o’rinli bo’ladi.
а va b kesmalarning ayirmasi bunday topiladi. а kesmaga teng AВ kesma yasaladi va unda b kesmaga teng AС kesma ajratiladi.
U holda (1.5-chizma) СВ kesma a va b kesmalarning a-b ayirmasi bo’ladi.
1.5-chizma.a va b kesmalarning a-b ayirmasi.
Ravshanki, a va b kesmalarning ayirmasi mavjud bo’lishi uchun b kesma a kesmadan kichik bo’lishi zarur va yetarlidir.
Kesmalar ustida amallar qator xossalarga ega. Ulardan ba’zilarini isbotsiz keltiramiz.
1. Har qanday a va b kesmalar uchun a+b=b+a tenglik o’rinli, ya’ni kesmalarni qo’shish o’rin almashtirish qonuniga bo’ysunadi.
2. Har qanday a,b,с kesmalar uchun
(a+b)+с=a+(b+с)
tenglik o’rinli, ya’ni kesmalarni qo’shish guruhlash qonuniga bo’ysunadi.
3. Har qanday a va b kesmalar uchun
a+b a.
4. Har qanday a,b va с kesmalar uchun a bo’lsa, u holda a+с bo’ladi.
So’ngra berilgan a kesma birlik e kesma bilan taqqoslanadi. Agar a kesma e birlik kesmaga teng n ta kesma yig’indisi bo’lsa, bunday yoziladi:
а=e+e+…..+e=ne
Shuni eslatib o’tish muhimki, har qanday natural son n uchun uzunligi shu son bilan ifodalanadigan kesma mavjud bo’ladi. Bunday kesma yasash uchun e uzunlik birligini birin-ketin n marta qo’shish yetarlidir.
1.Qo’shish. Masalan, 3 va 8 sonlari b va c kesmalar uzunliklarini e birlik yordamida o’lchash natijalari bo’lsin, ya’ni b=3e, с=8e. Ma’lumki 3+8=11. Ammo(1.6-chizma) 11 soni qaysi kesma uzunligini o’lchash natijasi bo’ladi? Ravshanki, bu a=b+с kesma uzunligining qiymatidir
1.6-chizma.b va c kesmalarni qo’shish.
Mulohazani umumiy ko'rinishda yuritamiz. a kesma bva с kesmalar yig'indisi hamda b=me, с=ne bo’lsin, bunda m va n –natural sonlar. U holda b kesma m ta bo’lakka, с kesma n ta shunday bo’lakka bo’linadi, bu bo’laklarning har biri birlik kesma e ga teng. Shunday qilib, butun a kesma m+n ta shunday bo’lakka bo’linadi. Demak, a=(m+n)e. Shunday qilib, mvan natural sonlar yig’indisini uzunliklari m va n natural sonlar bilan ifodalanadigan b va с kesmalardan tuzilgan a kesma uzunligining qiymati sifatida qarash mumkin ekan.
