Tegishli funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lganda , 0⋅∞, ∞-∞, 1∞,
00, ∞0 ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish masalasi engillashadi. Odatda hosilalardan foydalanib, aniqmasliklarni ochish Lopital qoidalari deb ataladi. Biz quyida Lopital qoidalarining bayoni bilan shug‘ullanamiz.
1. ko‘rinishdagi aniqmaslik. Ma’lumki, x→0 da f(x)→0 va g(x)→0 bo‘lsa, f (x ) nisbat ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi. Ko‘pincha x→a da g( x ) f ( x ) nisbatning limitini topishga qaraganda f' ( x ) nisbatning limitini topish g( x ) g' ( x )
oson bo‘ladi. Bu nisbatlar limitlarining teng bo‘lish sharti quyidagi teoremada ifodalangan.
1-teorema. Agar
f(x) va g(x) funksiyalar (a-δ;a)∪(a;a+δ), bu erda δ>0, to‘plamda uzluksiz, differensiallanuvchi va shu to‘plamdan olingan ixtiyoriy x uchun g(x)≠0, g‘(x)≠0;
lim f ( x ) = lim g( x ) = 0;
x→a x→a
hosilalar nisbatining limiti (chekli yoki cheksiz) lim f'( x ) =A x→a g'( x )
mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti lim f ( x ) mavjud va x→a g( x )
lim f ( x ) =lim f'( x ) (2.1) x→a g( x ) x→a g'( x )
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Har ikkala funksiyani x=a nuqtada f(a)=0, g(a)=0 deb aniqlasak, natijada ikkinchi shartga ko‘ra lim f(x)=0=f(a), lim g(x)=0=g(a) tengliklar o‘rinli
x→a x→a bo‘lib, f(x) va g(x) funksiyalar x=a nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Avval x>a holni qaraymiz. Berilgan f(x) va g(x) funksiyalar [a;x], bu erda xδ, kesmada Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun a
bilan x orasida shunday c nuqta topiladiki, ushbu f ( x )− f ( a ) = f'( c ) tenglik g( x )− g( a ) g'( c )
o‘rinli bo‘ladi. f(a)=g(a)=0 ekanligini e’tiborga olsak, so‘ngi tenglikdan
f ( x ) = f'( c ) (2.2) g( x ) g'( c )
bo‘lishi kelib chiqadi. Ravshanki, a bo‘lganligi sababli, x→a bo‘lganda c→a bo‘ladi. Teoremaning 3-sharti va (2.2) tenglikdan lim f ( x ) =lim f'( x ) =A kelib x→a g( x ) x→a g'( x )
chiqadi.
Shunga o‘xshash, x holni ham qaraladi. Teorema isbot bo‘ldi.
Misol. Ushbu xlim→2 xln(2 +x32x−−310) limitni xisoblang.
Yechish. Bu holda f ( x ) = ln( x2 − 3), g( x ) = x2 + 3x −10 bo‘lib, ular uchun 1- teoremaning barcha shartlari bajariladi. Haqiqatan ham,
lim f ( x ) = limln( x2 −3) = ln1= 0, lim g( x ) = lim( x2 +3x −10 ) = 0; x→2 x→2 x→2 x→2
x , g'( x ) = 2x + 3, x ≠ ± 3;
limx→2 g'( x ) = limx→2 ( x2 − 32)(x2x + 3) = 0 bo‘ladi.
Demak, 1-teoremaga binoan limx→ xln2 (x32x−−310) = 0.
2 +
1-eslatma. Shuni ta’kidlash kerakki, berilgan funksiyalar nisbatining limiti 3) shart bajarilmasa ham mavjud bo‘lishi mumkin, ya’ni 3) shart yyetarli bo‘lib, zaruriy emas.
Masalan, f x funksiyalar (0;1] da 1), 2) shartlarni
qanoatlantiradi va lim f ( x ) = lim( x sin 1 ) = 0, lekin x→0 g( x ) x→0 x
limx→0 gf''(( xx)) = limx→0( 2xcos 1x + sin 1x ) mavjud emas, chunki xn = 1n → 0 n→∞ da π
1 1 2( 1)n+1 ,
x
xn →0 n→∞ da esa
.
x 0 x x n→∞ π( 2n + ) 2 2
2
|
