Makloren formulasi Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadini baholash masalasini qaraylik.
Faraz qilaylik, shunday o‘zgarmas M son mavjud bo‘lsinki, argument x ning x0=0 nuqta atrofidagi barcha qiymatlarida hamda n ning barcha qiymatlarida |f(n)(x)|≤M tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. U holda |Rn(x)|=| f ( n+1)(θx ) xn+1|≤M⋅ | x|n+1
( n +1)! ( n +1)!
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Argument x ning tayin qiymatida lim | x|n+1 =0 tenglik n→∞ ( n +1)!
o‘rinli, demak n ning yyetarlicha katta qiymatlarida Rn(x) yyetarlicha kichik bo‘lar ekan.
Shunday qilib, x0=0 nuqta atrofida f(x) funksiyani f(0)+ f’(0)x+ f’’(0)x2+ ... + f(n)(0)xn
ko‘phad bilan almashtirish mumkin. Natijada funksiyaning x nuqtadagi qiymati uchun f(x)≈ f(0)+ f’(0)x+ f’’(0)x2+ ... + f(n)(0)xn
taqribiy formula kelib chiqadi. Bu formula yordamida bajarilgan taqribiy hisoblashdagi xatolik |Rn(x)| ga teng bo‘ladi.
1-misol. e0,1 ni 0,001 aniqlikda hisoblang.
Yechish. ex funksiyaning Makloren formulasidan foydalanamiz. (4.1) formulada x=0,01 deb olsak, u holda
n е ,
n!
masala shartiga ko‘ra xatolik 0,001 dan katta bo‘lmasligi kerak, demak
Rn(x)= 0,1n+1 e0,1θ<0,001 tengsizlik o‘rinli bo‘ladigan birinchi n ni topish ( n +1)!
yyetarli. e0,1θ <2 ekanligini e’tiborga olsak, so‘ngi tengsizlikni quyidagicha yozib olish mumkin:
< 0,001.
Endi n=1, 2, 3, ... qiymatlarni so‘ngi tengsizlikka qo‘yib tekshiramiz va bu tengsizlik n=3 dan boshlab bajarilishini topamiz. Shunday qilib, 0,001 aniqlikda
е .
Xususiy holda, n=1 bo‘lganda
f(x)≈f(x0)+f’(x0)(x-x0) taqribiy hisoblash formulasi R aniqlikda o‘rinli bo‘ladi.
2-misol. Differensial yordamida radiusi r=1,01 bo‘lgan doira yuzini toping. Hisoblash xatoligini baholang.
Yechish. Doira yuzi S=πr2 ga teng. Bunda r0=1, ∆r=0,01 deb olamiz va S=S(r) funksiya orttirmasini uning differensiali bilan almashtiramiz:
S(r) ≈ S(r0)+dS(r0)= S(r0)+ S’(r0)∆r. Natijada
S(1,01) ≈ S(1)+dS(1)= S(1)+ S’(1)0,01=π⋅12+2π⋅0,01=1,02π hosil bo‘ladi. Bunda hisoblash xatoligi
R dan katta emas. S’’(r)=2π va r ga bog‘liq emas, shu sababli R Demak, hisoblash xatoligi 0,000314 dan katta emas.
3-misol. Ushbu f(x)=ex2−x funksiyaning x=0,03 nuqtadagi qiymatini differensial yordamida hisoblang. Xatolikni baholang.
Yechish. Taqribiy hisoblash formulasi f(x)≈f(x0)+f’(x0)(x-x0) da x0=0, x=0,03
qiymatlarni qo‘ysak, f(0,03)≈f(0)+f’(0)0,03 bo‘lib, xatolik
R 0,03 bo‘ladi.
Berilgan funksiya hosilalarini va nuqtadagi qiymatlarini hisoblamiz:
f’(x)=(2x-1) ex2−x , bundan f’(0)=-1, f’’(x)=2ex2−x +(2x-1)2ex2−x = =ex2−x (4x24x+3), bundan f’’(ξ)<3. Olingan natijalardan foydalanib, f(0,03)≈1+(-
1)⋅0,03=0,97 ekanligini topamiz.
Teylor formulasi funksiyalarni ekstremumga tekshirishda, qatorlar nazariyasida, integrallarni hisoblashlarda ham keng tatbiqqa ega.
http://fayllar.org
|
