|
Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari 1-§. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar
|
| bet | 7/13 | | Sana | 26.01.2024 | | Hajmi | 0,55 Mb. | | #146231 |
Bog'liq Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari 1-§-fayllar.org3-teorema. Agar
f(x) va g(x) funksiyalar (a;∞) nurda differensiallanuvchi, hamda g‘(x)≠0,
lim f ( x ) = lim g( x ) = ∞,
x→∞ x→∞
lim f'( x ) mavjud bo‘lsa, x→∞ g'( x )
u holda lim f ( x ) mavjud va lim f ( x )= lim f'( x ) bo‘ladi. x→∞ g( x ) x→∞ g( x ) x→∞ g'( x )
Isbot. Teorema shartiga ko‘ra lim f'( x ) mavjud. Aytaylik lim f'( x )=µ
x→∞ g'( x ) x→∞ g'( x )
bo‘lsin. U holda ∀ε>0 sonni olsak ham shunday N>0 son topilib, x≥N bo‘lganda µ (2.3)
tengsizliklar bajariladi. Umumiylikni cheklamagan holda N>a deb olishimiz mumkin. U holda x≥N tengsizlikdan x∈(a;∞) kelib chiqadi.
Aytaylik x>N bo‘lsin. U holda [N;x] kesmada f(x) va g(x) funksiyalarga Koshi teoremasini qo‘llanib quyidagiga ega bo‘lamiz:
f ( x ) − f ( N ) = f'( c ) , bu erda N. g( x ) − g( N ) g'( c )
Endi c>N bo‘lganligi sababli x=c da (2.3) tengsizliklar o‘rinli:
µ ,
bundan esa
µ
tengsizliklarga ega bo‘lamiz.
Teorema shartiga ko‘ra lim f ( x ) = ∞, lim g( x ) = ∞, f(N) va g(N) lar esa
x→∞ x→∞
chekli sonlar. Shu sababli x ning yyetarlicha katta qiymatlarida f ( x ) − f ( N ) kasr g( x ) − g( N ) f ( x ) kasrdan istalgancha kam farq qiladi. U holda shunday M soni topilib, x≥M
g( x )
larda µ-ε< f ( x )<µ+ε (2.4) g( x )
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Shunday qilib, ixtiyoriy ε>0 son uchun shunday M soni mavjudki, barcha x≥M larda (2.4) tenglik o‘rinli bo‘ladi, bu esa lim f ( x )=µ ekanligini anglatadi. x→∞ g( x )
Teorema isbot bo‘ldi.
Yuqorida isbotlangan teorema x→a (a-son) holda ham o‘rinli. Buni isbotlash uchun t= 1 almashtirish bajarish yyetarli.
х − а
Misol. Ushbu lim ln x limitni hisoblang.
x→+∞ x
Yechish. f(x)=lnx, g(x)=x funksiyalar uchun 3-teorema shartlarini tekshiramiz: 1) bu funksiyalar (0,+∞) da differensiallanuvchi; 2) f’(x)=1/x g‘(x)=1; 3) lim f'( x ) = lim 1/ х =0, ya’ni mavjud. Demak, izlanayotgan limit ham x→+∞ g'( x ) x→+∞ 1 mavjud va lim ln x =0 tenglik o‘rinli.
x→+∞ x
|
| |
