2. Teylor formulasining Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadi.
Teylor formulasi Rn(x) qoldiq hadi yozilishining turli ko‘rinishlari mavjud. Biz uning Lagranj ko‘rinishi bilan tanishamiz.
Qaralayotgan f(x) funksiya x0 nuqta atrofida n+1 –tartibli hosilaga ega bo‘lsin deb talab qilamiz va yangi g(x)=(x-x0)n+1 funksiyani kiritamiz. Ravshanki, g(x0)=g‘(x0)=...= g(n)(x0)=0; g(n+1)(x0)=(n+1)!≠0.
Ushbu Rn(x)=f(x)-Pn(x) va g(x)=(x-x0)n+1 funksiyalarga Koshi teoremasini tatbiq qilamiz. Bunda Rn(x0)= Rn’(x0)=...= Rn(n)(x0)=0 e’tiborga olib, quyidagini topamiz:
R
− 0 1 1 − 0 2
Rgn((nn))((ccnn)) = Rgn(( nn ))(( xx ))−− Rg(nn( n)()(xx00)) = Rgn((nn++11))((ξξ)) , bu erda c1∈(x0;x); c2∈(x0;c1); ... ; cn∈(x0;cn-1); ξ∈(x0;cn)⊂ (x0;x).
Shunday qilib, biz R ekanligini ko‘rsatdik, bu erda ξ∈(x0;x). Endi g(x)=(x-x0)n+1, g(n+1)(ξ)=(n+1)!, Rn(n+1)(ξ)=f(n+1)(ξ) ekanligini e’tiborga olsak quyidagi formulaga ega bo‘lamiz:
Rn(x)= f((nn++1)1(ξ)! )( x − x0 )n+1, ξ∈(x0;x). (3.8)
Bu (3.8) formulani Teylor formulasining Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadi deb ataladi.
Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadni
Rn(x)= f ( n+1)( (xn0 ++θ( x − x0 ))( x − x0 )n+1 (3.9) 1)!
ko‘rinishda ham yozish mumkin, bu erda θ birdan kichik bo‘lgan musbat son, ya’ni 0<θ<1.
Shunday qilib, f(x) funksiyaning Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi kuyidagi shaklda yoziladi: f(x)=f(x0) + f’(x0)(x-x0) + 1 f’’(x0)(x-x0)2 + ... 2!
+ f(n)(x0)(x-x0)n + f((nn++1)1(ξ)! )( x − x0 )n+1, bu erda ξ∈(x0;x).
Agar x0=0 bo‘lsa, u holda ξ=x0+θ(x-x0)=θx, bu erda 0<θ<1, bo‘lishi ravshan, shu sababli Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasi
f(x)=f(0)+ f’(0)x+ f’’(0)x2+ ... +f(n)(0)xn+ f ( n+1)(θx ) xn+1 (3.10) ( n +1)!
shaklida yoziladi.
3. Teylor formulasining Koshi ko‘rinishidagi qoldiq hadi
Teylor formulasi qoldiq hadining boshqa ko‘rinishlariga misol tariqasida Koshi ko‘rinishidagi qoldiq hadni keltirish mumkin. Buning uchun ϕ(t ) = f ( x ) − f (t ) − f'(t )( x − t ) − ...− f ( n )(t )( x − t )n
n!
yordamchi funksiyani tuzib olamiz va [x0;x] segmentda uzluksiz, (x0;x) intervalda esa noldan farqli chekli hosilaga ega bo‘lgan biror ψ(t) funksiyani olib, bu funksiyalarga Koshi teoremasini qo‘llasak,
Rn n , c∈( x0;x ) (3.11) ko‘rinishdagi qoldiq hadni chiqarish mumkin.
Agar (3.11) formulada ψ(t) funksiya sifatida ψ(t)=x-t funksiya olinsa, natijada Koshi shaklidagi qoldiq hadni hosil qilamiz:
Rn( x ) = f ( n+n1!)( c )(1−θ)n( x − x0 )n+1, c = x0 +θ( x − x0 ), 0 <θ<1
|
