f(x)=(1+x)µ (µ∈R) funksiya uchun Makloren formulasi. Bu funksiya (1;1) intervalda aniqlangan va cheksiz marta differensiallanuvchi. Uni Makloren formulasiga yoyish uchun f(x)=(1+x)µ funksiyadan ketma-ket hosilalar olamiz: f'( x ) =µ(1+ х )µ−1, f''( x ) =µ(µ−1)(1+ x )µ−2 , f'''( x ) = µ(µ−1)(µ− 2 )(1+ x )µ−3,..., f ( n )( x ) =µ(µ−1)...(µ− n +1)(1+ x )µ−n . (4.7)
Ravshanki, f(0)=1, f(n)(0)=µ(µ-1)...(µ-n+1). Shuning uchun f(x)=(1+x)µ funksiyaning Makloren formulasi quyidagicha yoziladi:
(1+ x)µ=1+µx +µ(µ−1)x2 +...+µ(µ−1)...(µ−n+1)xn +µ(µ−1)...(µ−n)(1+θx )µ−n−1xn+1 (4.8)
2! n! (n+1)!
0<θ<1.
f(x)=ln(1+x) funksiya uchun Makloren formulasi.
Bu funksiyaning (-1;∞) intervalda aniqlangan va istalgan tartibli hosilasi mavjud. Haqiqatan ham, f'( x ) = (ln(1+ х ))′ = (1+ x )−1 funksiyasiga (4.7) formulani qo‘llab, unda µ=-1 deb n ni n-1 bilan almashtirsak, f formulani hosil qilamiz. Ravshanki, f(0)=0, f(n)(0)=(-
1)n-1(n-1)! Shuni e’tiborga olib, berilgan funksiyaning Makloren formulasini yozamiz: ln(1+ x ) = x − x22 + x33 − x44 + ...+(−1)n−1 xnn + ((n−1)1n)(1 xnx+1)n+1 , 0<θ<1 (4.9)
+ +θ
Yuqorida keltirilgan asosiy elementar funksiyalarning Makloren formulalari boshqa funksiyalarni Teylor formulasiga yoyishda foydalaniladi. Shunga doir misollar ko‘ramiz.
1-misol. Ushbu f(x)=e-3x funksiya uchun Makloren formulasini yozing.
Yechish. Bu funksiyaning Makloren formulasini yozish uchun f(0), f’(0),...,f(n)(0) larni topib, (3.10) formuladan foydalanish mumkin edi. Lekin f(x)=ex funksiyaning yoyilmasidan foydalanish ham mumkin. Buning uchun (4.1) formuladagi x ni -3x ga almashtiramiz, natijada
е−3х =1− 3х + 9х2 − ...+( −1)n 3n хn + ( −3х )n+1 e−3θx , 0<θ<1,
1! 2! n! ( n +1)!
formulaga ega bo‘lamiz.
2-misol. Ushbu f(x)=lnx funksiyani x0=1 nuqta atrofida Teylor formulasini yozing.
Yechish. Berilgan funksiyani Teylor formulasiga yoyish uchun f(x)=ln(1+x) funksiya uchun olingan (4.9) asosiy yoyilmadan foydalanamiz. Unda x ni x-1 ga almashtiramiz, natijada lnx=ln((x-1)+1) va
n−1 ( x −1)n + ( −1)n ⋅ ( x −1)n+1 n+1 , 0< θ <1 n ( n +1) (1+θ( x −1))
formulaga ega bo‘lamiz. Bu formula x-1>-1 bo‘lganda, ya’ni x>0 larda o‘rinli.
|
