| 3. Boshqa ko‘rinishdagi aniqmasliklar. Ma’lumki, lim f ( x ) = 0,
x→a lim f ( x ) = ∞, bo‘lganda f(x)⋅g(x) ifoda 0⋅∞ ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, x→a uning quyidagi
f
kabi yozish orqali ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirish mumkin.
Shuningdek, lim f ( x ) = +∞, lim g( x ) = +∞, bo‘lganda f(x)-g(x) ifoda ∞-∞ x→a x→a ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, uni ham quyidacha shakl almashtirib
f
f ( x ) ⋅ g( x )
ko‘rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.
Ma’lumki, x→a da f(x) funksiya 1, 0 va ∞ ga, g(x) funksiya esa mos ravshda ∞, 0 va 0 intilganda (f(x))g(x) darajali-ko‘rsatkichli ifoda 1∞, 00, ∞0 ko‘rinishidagi aniqmasliklar edi. Bu ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish uchun avval y=(f(x))g(x) ni logarifmlaymiz: lny= g(x)⋅ln(f(x)). Bunda x→a da g(x)ln(f(x)) ifoda 0⋅∞ ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi.
Shunday qilib, funksiya hosilalari yordamida 0⋅∞, ∞-∞, 1∞, 00, ∞0, ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochiщda, ularni yoki ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirib, so‘ng yuqoridagi teoremalar qo‘llaniladi.
2-eslatma. Agar f(x) va g(x) funksiyalarning f’(x) va g‘(x) hosilalari ham f(x) va g(x) lar singari yuqorida keltirilgan teoremalarning barcha shartlarini qanoatlantirsa, u holda
lim f ( x ) = lim f'( x ) = lim f''( x )
x→a g( x ) x→a g'( x ) x→a g''( x )
tengliklar o‘rinli bo‘ladi, ya’ni bu holda Lopital qoidasini takror qo‘llanish mumkin bo‘ladi.
1
Misol. Ushbu lim tgx x2 limitni hisoblang.
x→0 x
1
Yechish. Ravshanki, x→0 da tgx x2 ifoda 1∞ ko‘rinishdagi aniqmaslik
x
bo‘ladi. Uni logarifmlab, aniqmaslikni ochishga keltiramiz:
ln x cosx2 x −tgx tgx (ln tgx )'
limx→0ln y = x→0 x2x = limx→0 ( x2x)' = limx→0 tgx ⋅ 2xx2 = 12 limx→0 x − sinx3xcos x = lim
= 12 limx→0 ( x − sin( x3x)cos' x )' = 12 limx→01− cos23xx2+ sin2 x = 16 limx→0 2sinx22 х = 16 ⋅2 = 13.
12 1
Demak, lim tgx x = e3 = 3 e .
x→0 x
Misollar
1. Quyidagi limitlarni hisoblang:
a) xlim→∞ 3x3 −45xx32 +73x + 4 ; b) x→limπ/ 2 ln(sinπ− 2xx) ; c) limx→1 x1−1 − ln1x ;
+
d) lim( 2 − x )tgπx ; e) lim xx ; f) .
x→2 4 x→0+ x→+∞
|
