| yig‘indisi deyiladi. Agar qatorning xususiy yig‘indilaridan tuzilgan s1, s2 ,..., sn ,...ketma- ketlik
chekli limitga ega bo‘lsa, u holda qator yaqinlashuvchi va bu limitning qiymati yaqinlashuvchi qator yig‘indisi deb ataladi.
Agar xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda qator uzoqlashuvchi deyiladi.
Amaliy masalalarni hal qilishda funksional qatorlar sinfiga tegishli bo‘lgan darajali qatorlar muhim ahamiyatga ega. Darajali qator
a0 a1x a2 x2 ... an xn ...ak xk
k1
ko‘rinishga ega bo‘lgan funksional qatordan iboratdir, bu yerda
a0 , a1 , a2 ,..., an ,...
berilgan chekli o‘zgarmas koeffitsientlarni, x esa qator o‘zgaruvchisini ifodalaydi. Tushunarliki, o‘zgaruvchisi nolga teng bo‘lgan har qanday darajali qator yaqinlashuvchidir. Odatda darajali qator o‘zgaruvchining ba’zi qiymatlarida yaqinlashuvchi, boshqalarida esa uzoqlashuvchi bo‘ladi. Ammo, shunday darajali qatorlar borki, ular o‘zgaruvchi qanday qiymatga ega bo‘lishidan qat’iy nazar yaqinlashuvchi yoki o‘zgaruvchining noldan boshqa barcha qiymatlarda uzoqlashuvchi boladi
Darajali qator yig‘indisini ifodalovchi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)ak xk
|
|
|
|
|
|
|
|
k0
|
|
|
|
|
|
funksiya a0 , a1 , a2 ,..., an ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi deb ataladi.
|
|
|
Bu
|
yerda
|
f (x) funksiyani aniqlovchi qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi
|
|
uchun x
|
o‘zgaruvchining haqiqiy yoki kompleks qiymatli bo‘lishi muhim
|
|
5.Xarakteristik funksiyalar.
ehtimollik fazosida tasodifiy miqdor berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi deb haqiqiy o’zgaruvchining ushbu funksiyasiga aytiladi:
(1)
bu yerda t-haqiqiy son, esa ning taqsimot funksiyasi. Agar tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi mavjud bo’lsa, u holda
bo’ladi, bu esa funksiya Fur’e almashtirishning o’zidir.
Umuman olganda, xarakteristik funksiya taqsimot funksiyaning Fur’e-Stilt’es almashtirishdir.
Ushbu
tengsizlikdan ixtiyoriy tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi mavjudligi kelib chiqadi.
Bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar yig’indisining xossalarini o’rganishda xarakteristik funksiyalar metodi juda qulay metodlardan biri hisoblanadi.
Xarakteristik funksiyaning xossalari.
1. Ihtiyoriy tasodifiy miqdor uchun va barcha t lar uchun .
2.
Darhaqiqat,
3. Agar o’zaro bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar bo’lsa, u holda yig’indining xarakteristik funksiyasi ga teng.
Isbot.
4. xarakteristik funksiya da tekis uzluksizdir.
Isbot.
Bu yerda berilgan uchun N ni tanlash hisobiga qilish mumkin, so’ngra ni shunday tanlashimiz mumkinki, bo’ladi, natijada
5. bu year funksiya ustidagi chiziqcha kompleks qo’shmani bildiradi. Bu xossaning isboti
tenglikdan kelib chiqadi.
6. Poya teoremasi. Faraz qilaylik, funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
a)
b) uzluksiz, juft va botiq, u xolda biror taqsimot funksiyaning xarakteristik funksiyasi bo’ladi.
Bu teoremani isbotini keltirmaymiz.
7. Agar bo’lsa, xarakteristik funksiya n-tartibli uzluksiz hosilaga ega va quyidagi tengliklar o’rinli:
bu yerda da va barcha t larda
Isbot. Quyidagi ifodani qaraymiz:
Ma’lumki, hamda shartga ko’ra da
U holda majorant yaqinlashish haqidagi teoremag a binoan
mavjud va ifodaga teng, shuning uchun
Shunga o’xshash,
tengsizlikdan foydalanib, formula isbotlanadi, hamda dan kelib chiqadi.
ni isbotlash uchun Teylor formulasidan foydalanamiz, u holda haqiqiy y lar uchun
Shuning uchun
Bu yerda va -tasodifiy miqdorlar va
Endi
hamda
Funksiya uchun majorant yaqinlashish haqidagi teoremani e’tiborga olsak, Shunday qilib, ga asosan kelib chiqadi.
Endi ko’p ishlatiladigan taqsimot funksiyalarning xarakteristik funksiyalarini hisoblaylik.
|
