|
Ehtimollik va statistika” fanidan mustaqil ishi mavzu: Styudent Taqsimoti, Fisher Taqsimoti. Reja
|
| bet | 1/7 | | Sana | 10.06.2024 | | Hajmi | 272,48 Kb. | | #262155 |
Bog'liq Ehtimollik va statistika
OʻZBEKISTON RESPUBLIKASI RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI
UNIVERSITETI FARG‘ONA FILIALI
RIZAYEVA NAMUNAXON 712-22 GURUH
TALABASI
“EHTIMOLLIK VA STATISTIKA”
FANIDAN
MUSTAQIL ISHI
MAVZU: Styudent Taqsimoti, Fisher Taqsimoti.
REJA:
Yuqori tartibli boshlang’ich momentlarni quyi tartibli momentlar orqali ifodalash.
Styudent taqsimoti, Fisher taqsimoti.
Reley, Veybulla taqsimotlari.
Hosil qiluvchi funksiya.
Xarakteristik funksiyalar.
Ikki o’lchovli normal taqsimlangan tasodifiy vektorning kovariatsion matritsasi.
1.Yuqori tartibli boshlang’ich momentlarni quyi tartibli momentlar orqali ifodalash.
Tasodifiy miqdorlarning boshqa sonli xarakteristikalariga ham to‘xtalib o‘tamiz. Bunday xarakteristikalar sifatida ko‘p hollarda yuqori tartibli momentlar ishlatiladi.
Agar tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi F(x) bo‘lsa,
integral tasodifiy miqdorning k-tartibli momenti yoki k-tartibli boshlang‘ich momenti deyiladi. Тushunarliki, agar
integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, k-tartibli moment mavjud bo‘ladi . Ehtimolliklar nazariyasida momentning mavjudligini k-tartibli absolyut moment mavjud bo‘lgan hol bilan tenglashtiriladi.
Agar tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyasi F(x) diskret tipda bo‘lib, uning uzilish nuqtalari
ketma-ketlikni tashkil qilsa, u holda Stiltes integralining хossasiga ko‘ra k-tartibli moment
tenglik bilan aniqlanadi. Bu yerda
bo‘lib,
qator yaqinlashadi deb faraz qilinadi.
Agar tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi F(x) uzulksiz tipda bo‘lib, f(x) funksiya uning zichlik funksiyasi bo‘lsa , u holda Stiltes integralining хossasiga asosan
tenglik bilan aniqlanadi. Bu holda esa
integral yaqinlashadi deb faraz qilinadi. Nolinchi tartibdagi moment doim mavjud va
.
Birinchi tartibli moment
tasodifiy miqdorning o‘rta qiymati yoki matematik kutilmasi bo‘ladi. Agar c o‘zgarmas son bo‘lsa,
integralga tasodifiy miqdorning c ga nisbatan k-tartibli momenti deyiladi. Matematik kutilmaga nisbatan momentlar
tasodifiy miqdorning k-tartibli markaziy momentlari deb ataladi.
Bu yerda ifodani Nyuton binomi formulasi bilan ochib chiqib, quyidagi formulalarni hosil qilamiz:
va hakozo. Ular k-tartibli momentlar larni markaziy momentlar bilan bog‘laydilar. O‘zgarmas c ga nisbatan ikkinchi tartibli moment uchun
munosabatga ega bo‘lamiz va undan
(*)
tenglikni olamiz. Ma’lumki, bu moment tasodifiy miqdor ning dispersiyasi deb ataladi va uchun asosiy sonli хarakteristikalardan hisoblanadi. Isbot etilgan (*) munosabatni tasodifiy miqdor dispersiyasining ta’rifi sifatida qabul qilinishi mumkin.
Agar bo‘lsa, markaziy moment boshlang‘ich momentga teng bo‘ladi.
tasodifiy miqdorning -tartibli markaziy absolyut momenti deb
ifodaga aytiladi.
Хususan, agar bo‘lsa, -tartibli markaziy absolyut moment -tartibli boshlang‘ich absolyut moment bilan ustma-ust tushadi.
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi
Ikkinchi tartibli momentga ega iхtiyoriy va tasodifiy miqdorlar uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:
.
Isbot. Ma’lumki, hamda va momentlar chekliligidan ekani kelib chiqadi. va o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lgan musbat aniqlangan ushbu
kvadratik formaning diskriminanti
bundan esa (1) tengsizlikning o‘rinlili ekani kelib chiqadi.
Gyolder tengsizligi
Aytaylik, 1 ehtimolik bilan , va sonlar uchun munosabatlar o‘rinli bo‘lsin.
Agar va bo‘lsa, u holda
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Gyolder tengsizligida p=q=2 deb olinsa, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi kelib chiqadi.
Ko‘p hollarda berilgan tasodifiy miqdorning chiziqli kombinatsiyalari bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi, ularning yuqori tartibli momentlari uchun
formulani isbot etish mumkin.
Endi yuqori tartibli absolyut momentlar – larga tegishli quyidagi hossani isbotlaylik. Buning uchun va o‘zgaruvchilarga nisbatan
manfiy bo‘lmagan kvadratik formani ko‘raylik. Bu kvadratik formaning determinantini hisoblab,
tengsizlikni hosil qilamiz. Bu tengsizlikda navbati bilan deb hisoblansa,
.
Hosil bo‘lgan tengsizliklarni o‘zaro ko‘paytirsak,
tengsizliklar kelib chiqadi. Oхirgidan esa
ekanligi kelib chiqadi. Хususan,
va bu tengsizliklar Lyapunov tengsizliklari deb ataladi.
Iхtiyoriy taqsimot funksiya F(x) ning hamma tartibdagi momentlari
mavjud bo‘lsin. Bu momentlar F(x) funksiyani bir qiymatli aniqlaydi degan masalani qo‘yamiz. Bu masala matematik analizdagi “momentlar problemasi” deb ataladigan umumiy masala bilan bog‘liq va uning yechimidan quyidagi natija kelib chiqadi. Agar
qator biror r>0 uchun yaqinlashsa, F(x) funksiya momentlarga ega bo‘lgan yagona funksiya bo‘ladi.
Тasodifiy miqdorning dispersiyasi (ikkinchi tartibli markaziy momenti) bu miqdor qiymatlarining o‘rta qiymat atrofida qanday tarqoqlik bilan joylashganligini хarakterlaydi. Shundan kelib chiqib, yuqori tartibdagi momentlarning ehtimollik ma’nolari haqida to‘хtab o‘tamiz.
Agar F(x) simmetrik taqsimot funksiyasi (ya’ni simmetrik tasodifiy miqdor) bo‘lsa, uning hamma toq tartibdagi momentlari 0 ga teng bo‘ladi (albatta shu momentlar mavjud bo‘lganda). Bunga bu taqsimot uchun
tenglik o‘rinli ekanligidan ishonch hosil qilish mumkin. Demak, hamma 0 ga teng bo‘lmagan toq tartibdagi momentlarni taqsimotning asimmetriklik хarakteristikasi sifatida qabul qilish mumkin. Shu ma’noda eng sodda asimmetriklik хarakteristikasi sifatida, berilgan taqsimotning 3-tartibli momenti olinadi. Masshtab bir jinsligini hisobga olgan holda
ifodani taqsimotning asimmetriklik koeffitsienti deb qabul qilinadi. Juft tartibli (dispersiyaga nisbatan yuqori tartibli) momentlarga ehtimollik ma’nosi berish mumkin. Masalan,
ifoda F(x) taqsimotning ekssess koefitsienti deb atalib, u F(x) ning “markaz” (o‘rta qiymat) atrofidagi “silliqlik” darajasini хarakterlaydi.
Berilgan taqsimotning momentlari mavjudligini tekshirib ko‘rish qiyin bo‘lmaydi, chunki bu masala “chap qoldiq” F(-x) va “o‘ng qoldiq” (1- F(x)) ning dagi asimptotikalariga bog‘liq. Masalan,
bo‘lsa, bu taqsimot uchun tartibdagi hamma momentlar mavjud bo‘ladi.
|
| |
