Markov va Chebishev tengsizliklari.
Markov (Markova) va Chebishev (Chebyshev) tengsizliklari, olaslik va statistika sohasida amaliyotda intensiv ravishda ishlatiladigan tengsizliklar hisoblanadi.
**Markov Tengsizligi:**
Markov tengsizligi, biron bir o'zgaruvchining garchi qanday turdagi miqdorlar (moylar) uchun berilgan bir qiymatga qanday qilib yaqinlashishi bilan bog'liq. Markov tengsizligi formulasi quyidagicha:
\[ P(X \geq a) \leq \frac{\mu}{a} \]
Bu formulada:
- \(P(X \geq a)\) - o'zgaruvchi \(X\) ning \(a\) dan katta yoki teng bo'lganligi.
- \(\mu\) - o'zgaruvchi \(X\) ning o'zining ijarasi (expectation).
Markov tengsizligi, barcha amaliyotlarda va kontekstlarida foydalaniladi. U, o'zgaruvchining qiymatlari jiddiy uzluksizlik shartini o'rganish uchun yordam beradi.
**Chebishev Tengsizligi:**
Chebishev tengsizligi, har qanday o'zgaruvchi uchun qandaydir bir farq (farqni kesishning orqasidagi harorat)ni chiqarish uchun foydalaniladi. Chebishev tengsizligi formulasi quyidagicha:
\[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]
Bu formulada:
- \(X\) - o'zgaruvchi.
- \(\mu\) - o'zgaruvchi \(X\) ning o'zining ijarasi (expectation).
- \(\sigma\) - o'zgaruvchi \(X\) ning o'zining standart deviasi.
- \(k\) - iste'mol qiluvchi to'g'ri son.
Chebishev tengsizligi, o'zgaruvchilar qatorining cheksiz vaqtincha o'zgaruvchilariga duch keladigan olaylarni, turli hisob-kitob tizimlari va ma'lumot analizi jarayonlarida ishlatiladi.
Bu tengsizliklar, o'zgaruvchilarning qanday qilib taqsimlanishi haqida umumiy ma'lumotlar olishda va qanday qilib o'zgaruvchilarning qiymatlari kesishmaydigan chegaralarda qanday qilib harakat qilib kelinishini tushunishda yordam bera oladigan quyidagi qoidalarni o'rganishga yordam bera oladi.
Ehtimollar nazariyasining limit teoremalari deb nomlanuvchi qator tasdiq va teoremalarni keltiramiz. Ular yetarlicha katta sondagi tajribalarda tasodifiy miqdorlar orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi. Limit teoremalar shartli ravishda ikki guruhga bo‘linadi. Birinchi guruh teoremalar katta sonlar qonunlari(KSQ) deb nomlanadi. Ular o‘rta qiymatning turg‘unligini ifodalaydi: yetarlicha katta sondagi tajribalarda tasodifiy miqdorlarning o‘rta qiymati tasodifiyligini yo‘qotadi. Ikkinchi guruh teoremalar markaziy limit teoremalar(MLT) deb nomlanadi. Yetarlicha katta sondagi tajribalarda tasodifiy miqdorlar yig‘indisining taqsimoti normal taqsimotga intilishi shartini ifodalaydi. KSQ ni keltirishdan avval yordamchi tengliklarni isbotlaymiz.
Chebishev tengsizligi
| 