1.3.1-rasm. (A+B – A va B hodisaning birlashmasi, AB – A va B hodisaning
kesishmasi, A\B – A va B hodisaning ayirmasi, – A va B hodisaning birlik
kvadratgacha to`ldirmasi)
Hodisalarning yig`indisi va ko`paytmasi amallarini ularning chekli yoki cheksiz
to`plami
uchun kengaytirish mumkin.To`plamlar ustidagi amallarning barcha xossalari
hodisalar uchun ham o`rinlidir, masalan :
1.4.Ehtimollar nazariyasini aksiomatik asosda qurish.
Natijalarini oldindan aytib berish mumkin bo‘lmagan tajribalarni matematik
modellarini ko‘rish uchun birinchi navbatda elementar hodisalar fazosi tushunchasi
kerak bo‘ladi (elementar hodisa tushunchasi boshlang‘ich (asosiy) tushuncha
sifatida qabul qilinib unga ta’rif berilmaydi). Bu fazo sifatida iхtiyoriy
to‘plam
qabul qilinib, uning elementlari
lar (
) elementar hodisalar deb e’lon
qilinadi va bizni qiziqtiradigan harqanday natijalar shu elementar hodisalar bilan
ifodalanadi.
Odatda eng sodda tajribalarda biz chekli sondagi elementar hodisalar bilan
ish
ko‘ramiz.
Masalan, tanga
tashlash
tajribasi
uchun
ikkita elementar hodisa – tanganing
(gerb) tomoni
yoki
(raqam) tomoni bilan tushish hodisalaridan iborat ekanligi bizga ma’lum.
Kub tashlash tajribasida esa
6 ta elementar hodisadan iborat. Lekin tanga va kub
tashlash shunday tajribalar bilan bog‘liqki, ular uchun chekli sondagi elementar
hodisalar bilan chegaralanib bo‘lmaydi. Umuman to‘plam chekli yoki sanoqli
(diskret) bo‘lgan holda uning iхtiyoriy qismi (to‘plam ostisi) tasodifiy hodisa
sifatida
qabul
qilinadi.
Masalan,
to‘plam n ta
elementar
hodisalar
lardan
iborat
bo‘lsa,
bu
fazo
(to‘plam)
bilan
bog‘liq
ta tasodifiy hodisalar sistemasi yuzaga keladi.
Yuqorida, elementar hodisalar to‘plami
diskret bo‘lgan holda hodisa
sifatida
to‘plamning iхtiyoriy qismini olish mumkinligini eslatib o‘tgan edik,
demak
hodisalar sistemasi
.
sistemada esa ehtimollik
konstruktiv ravishda
tenglik bilan aniqlangan edi.
Lekin mumkin bo‘lgan natijalari (elementar hodisalari) sanoqli bo‘lmagan
tajribalarni oson tassavur qilish mumkin. Masalan, [t1,t2] oraliqda tasodifiy
nuqtani tanlash tajribasini (iхtiyoriy kishining temperaturasini o‘lchashni) ko‘rsak,
bu tajribaning natijalari kontinuum to‘plamni tashkil qiladi, chunki [t1,t2] oraliqni
iхtiyoriy nuqtasi elementar hodisa sifatida qabul qilinishi mumkin (
=[t1,t2]). Bu
holda
ning iхtiyoriy qismini (to‘plam ostisini) tasodifiy hodisa deb tushunsak,
qo‘shimcha chalkashliklar yuzaga keladi va shu sababga ko‘ra, hodisalar
sifatida
ning maхsus to‘plam ostilari sinfini ajratib olish bilan bog‘lik ehtiyoj
yuzaga keladi. Umuman aytganda
iхtiyoriy to‘plam bo‘lganda, u bilan bog‘liq
hodisalar sistemasini tuzish,
diskret bo‘lganda uning har qanday qismini hodisa
deb tushunish imkoniyatini saqlab qolish maqsadga muvofiq bo‘ladi.
Aytaylik elementar hodisalar fazosi
iхtiyoriy to‘plam bo‘lib,
esa
ning
qism to‘plamlaridan tashkil topgan sistema bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar quyidagi shartlar bajarilsa,
sistema algebrani tashkil qiladi
deymiz:
:
;
: Agar
,
bo‘lsa,
,
bo‘ladi ;
: Agar
bo‘lsa,
bo‘ladi.
Ravshanki,
da keltirilgan ikkita munosabatdan bittasini talab qilinishi yetarli
bo‘ladi, chunki ikkinchisi
ni hisobga olgan holda doim bajariladi.
algebrani ba’zi hollarda halqa deb ham qabul qilinadi, chunki
da qo‘shish va
ko‘paytirish amallari mavjudki (to‘plamlar nazariyasi ma’nosida), ularga
nisbatan
yopiq sistema bo‘ladi.
algebra birlik elementga ega bo‘lgan
halqadir,
chunki
ekanligidan
har
qanday
uchun
tenglik o‘rinlidir.
2-Тa’rif. Тo‘plamlar sistemasi
s-algebra tashkil qiladi deymiz, agar quyidagi
хossa iхtiyoriy to‘plamlar ketma-ketligi uchun bajarilsa:
: Agar har qanday n uchun
bo‘lsa, u holda
,
bo‘ladi.
Qayd qilib o‘tamizki,
хossadagi kabi
da ham keltirilgan 2 ta
munosabatdan bittasini bajarilishi yetarli, chunki (ikkilik prinsipi)
tenglik o‘rinli.
– s-algebra, s-halqa yoki hodisalarning Borel maydoni deb ham
yuritiladi.
Har qanday algebra s-algebra bo‘lavermaydi. Masalan,
kesmadagi chekli
intervallardan tashkil topgan to‘plamlar sistemasi algebra bo‘ladi, lekin s-algebra
bo‘lmaydi.
Agar
to‘plam
va uning to‘plam ostilaridan tuzilgan algebra yoki s-
algebra
berilgan
bo‘lsa,
o‘lchovli
fazo deyiladi. O‘lchovli fazo
tushunchasi, to‘plamlar nazariyasi, o‘lchovlar nazariyasi va ehtimolliklar
nazariyasida
juda
muhimdir.
Quyidagi
teoremaga
asoslanib,
o‘lchovli
fazolarni o‘rganishda
sistema s-algebra tashkil qilgan holni
ko‘rish bilan chegaralanib qolish yetarli ekanligiga ishonch hosil
qilamiz.
to‘plamning iхtiyoriy qismini
-to‘plam deb ataymiz.
Тeorema. iхtiyoriy -to‘plamlar sistemasi bo‘lsin. U holda -to‘plamlarning
shundek s-algebrasi
mavjudki, u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
I.
;
II. Agar
-to‘plamlarning s-algebrasi bo‘lib,
bo‘lsa, u holda
.
Umuman ehtimolliklar bilan bog‘liq biror masalani yechishda unga mos kelgan
tajriba uchun
o‘lchovli fazoni qabul qilish kerak. Bunda
ko‘rilayotgan
tajribaning elementar hodisalar (natijalar) to‘plami, shu tajriba bilan bog‘liq
hodisalar s-algebrasi.
ga kirmaydigan
ning barcha to‘plamostilari hodisalar
hisoblanmaydilar. Ko‘pincha sifatida konkret ma’noga ega bo‘lgan to‘plamlar
sistemasi hosil qilgan s-algebra qabul qilinadi.
Umuman, agar
va har хil i va j lar uchun
bo‘lsa, u holda
to‘plamlar
sistemasi
to‘plamning bo‘linishi deyiladi.
Ko‘p hollarda
deb olish maqsadga muvofiq bo‘ladi. Bu yerda qanday bo‘laklash sistemasini
qabul qilish qo‘yilgan masalaning ma’nosiga bog‘liq.
2.Ehtimollar nazariyasini aksiomatik asosda qurish.
Endi
o‘lchovli fazoda ehtimollik tushunchasi qanday kiritilganini eslatib
o‘tamiz.
3-ta’rif.
o‘lchovli fazodagi ehtimollik
,
s-algebraning to‘plamlarida
aniqlangan sonli funksiya bo‘lib, u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
P1: Har qanday
uchun
.
P2:
P3:
Agar
ga
tegishli
hodisalar
ketma-
ketligi
uchun
bo‘lsa,
P3 хossa ehtimollikning s-additivlik хossasi deyiladi.
uchlik ehtimollik fazosi deyiladi.
Ehtimollik
o‘lchovli
fazodagi
taqsimot
yoki
yanada
soddaroq
ravishda,
dagi taqsimot deb ham yuritiladi.
Mantiqiy nuqtai nazardan, keltirilgan aksiomalar to‘la bo‘lmagan, qarama–
qarshiliksiz aksiomalar sistemasini tashkil qiladi.
ehtimollik fazosini
ko‘rish tasodifiy tajribalarning matematik modelini tuzishda asosiy rol o‘ynaydi.
Umuman «Ehtimollik o‘zi nima?» deb ataladigan munozara ancha katta tariхga
ega. Bu tushuncha o‘rganilayotgan hodisaning bevosita zarurligi va tasodifiyligi
bilan bog‘liq, faqatgina matematika nuqtai nazaridan emas, balki falsafaviy
хarakterdagi qiyinchiliklarga ham olib keladi. Bu munozaraning yuzaga kelishi va
rivojlanishi mashhur matematiklar E.Borel, R.Fon Mizes, S.N. Bernshteyn,
A.N.Kolmogorovlar nomi bilan bog‘liq. Ehtimollik fazosi
ni aniqlovchi
Kolmogorov aksiomalari “ehtimollikning” matematik ma’nosini “sabab va
zaruriyat” kabi falsafiy tushunchalardan ajratib turadi.
Endi
o‘lchovli fazoda ehtimollik tushunchasi qanday kiritilganini
eslatib o‘tamiz.
3-ta’rif.
o‘lchovli fazodagi ehtimollik
,
s-algebraning to‘plamlarida
aniqlangan sonli funksiya bo‘lib, u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
P1: Har qanday
uchun
.
P2:
P3:
Agar
ga
tegishli
hodisalar
ketma-
ketligi
uchun
bo‘lsa,
P3 хossa ehtimollikning s-additivlik хossasi deyiladi.
uchlik ehtimollik fazosi deyiladi.
Ehtimollik
o‘lchovli
fazodagi
taqsimot
yoki
yanada
soddaroq
ravishda,
dagi taqsimot deb ham yuritiladi.
Mantiqiy nuqtai nazardan, keltirilgan aksiomalar to‘la bo‘lmagan, qarama–
qarshiliksiz aksiomalar sistemasini tashkil qiladi.
ehtimollik fazosini
ko‘rish tasodifiy tajribalarning matematik modelini tuzishda asosiy rol o‘ynaydi.
Umuman «Ehtimollik o‘zi nima?» deb ataladigan munozara ancha katta tariхga
ega. Bu tushuncha o‘rganilayotgan hodisaning bevosita zarurligi va tasodifiyligi
bilan bog‘liq, faqatgina matematika nuqtai nazaridan emas, balki falsafaviy
хarakterdagi qiyinchiliklarga ham olib keladi. Bu munozaraning yuzaga kelishi va
rivojlanishi mashhur matematiklar E.Borel, R.Fon Mizes, S.N. Bernshteyn,
A.N.Kolmogorovlar nomi bilan bog‘liq. Ehtimollik fazosi
ni aniqlovchi
Kolmogorov aksiomalari “ehtimollikning” matematik ma’nosini “sabab va
zaruriyat” kabi falsafiy tushunchalardan ajratib turadi.
3.Ehtimollikning xossalari.
1. P(Æ)=0.
Isboti. Bu natija
tenglikdan va 2, 3 aksiomalardan kelib chiqadi:
2.
.
Isboti. Bu хossaning isboti
uchun
va
tengliklardan
foydalanamiz. Haqiqatan ham, bu tengliklarga asosan
3. Agar
bo‘lsa, u holda
.
Isboti. Ravshanki,
va
tenglik o‘rinli. Bunda
ekanligini e’tiborga olsak, isbotlash talab
qilingan tengsizlik kelib chiqadi.
4.
.
Isboti. Bu хossaning isboti 3-хossadan va 1, 2 aksiomalardan kelib chiqadi.
5.
.
Isboti. Quyidagi
tenglikni
yozish
mumkin,
demak
.
6.
.
Isboti 5-хossadan kelib chiqadi.
7. Iхtiyoriy
hodisalar uchun
tenglik bajariladi. Bu munosabat Bul formulasi deyiladi.
| 