|
II. BAP Oraylıq maydanda jaylasqan bóleksheniń háreket traektorıyası
|
| bet | 3/4 | | Sana | 10.01.2024 | | Hajmi | 1,21 Mb. | | #134126 |
Bog'liq M.AlpısbaevII. BAP Oraylıq maydanda jaylasqan bóleksheniń háreket traektorıyası
II.1.Oraylıq maydanda jaylasqan bóleksheniń háreket teńlemesi
Bul dástúrde grafik jasaw ushın dástúr tilin túsiniw zárúr. Hár bir grafik ózine tán ózgeshelikke hám dúziliske iye. Dástúrde ápiwayı funkciyalardıń grafigin jasawdı baslaymız. Grafik tómendegi usıllarda jasaladı.
Plot[f,{x, xmin, xmax }]
x tiń funkciyası sıpatında xmin nan xmax ǵa shekem boladı.
X2 funkciyanıń grafigin jasaw ushın Plot komandasınan paydalanamız.. Plot bul jerde komanda bolıp esaplanadı hám anglichan tilinen alınǵan bolıp “sızıw” degendi bildiredi.
funkciya grafigin jasawshı kod.
Bul jerde x2 funkciyanıń grafigin jasadıq kórgenińizdey x ózgeriwshige (-1) den 1 ǵa shekemgi mánislerdi berdik.
Biz komandalardıń mánislerin dástúrdiń ózinen tapsaq boladı, bunı Help (járdem) bóliminen tabamız. Biz dástúrdiń ózinen grafik jasaw ushın kerek bolatuǵın qosımsha komandalardı da tapsaq boladı. Mısalı PlotRange-Automatic-koordinatalar diapazonın óz ishine aladı, AxesOrigin-Automatic-kósherler kesilisken noqat, Frame-maydan átirapında ramka sızıw bunnan tısqarı kóp ǵana komandalar bar. Student óz qálewlerinen kelip shıǵıp komandalardı dúziwi múmkin.
Wolfram Mathematica dástúri úsh ólshemli grafik jasaw imkanın beredi. Onı jasaw ushın tómendegi kodtan paydalanamız.
Plot3D[f,{x, xmin, xmax},{y, ymin, ymax}]
` Úsh ólshemli kórinisti jasaw ushın f(x,y) ózgeriwshilerdiń funkciyasın jaratamız. Biz kópshilik jaǵdaylarda úsh ólshemli koordinatalardan paydalanamız. Bul denelerdiń keńisliktegi orının anıq biliwimizge járdem beredi. Bunday kórinislerden biz ómirimizde kóbirek paydalanamız. Úsh ólshemli funkciyalardı kórip ótemiz.
II. BAP Oraylıq maydanda jaylasqan bóleksheniń háreket traektorıyası
II.1.Oraylıq maydanda jaylasqan bóleksheniń háreket teńlemesi
Kóp ólshemli mexanikalıq háreketler ishinde anıq integrallanatuǵınları az. Olardıń ishinde oraylıq maydan arqalı ózara tásir qılıwshı eki dene máselesi kóriledi. Bul máseleni kórip úyreniw keltirilgen massa túsiniginen baslanadı.
Massaları hám bolǵan eki dene berilgen bolsın. Olar arasındaǵı ózara tásir tek gána ózara aralıqqa ǵana baylanıslı bolıwı múmkin, bu degeni, potencial energiyanıń kórinisi bolıwı kerek. Sistemanıń Lagranj funkciyası
Inerciya orayı sistemasına ótemiz:
(1)
hám ózara aralıq vektorın kiriteyik:
(2)
Bul eki teńlemeni sheship
(3)
lar alınadı. Formuladan kóringenindey, vektorı ekinshi deneden birinshi denege qaratılǵan. Eger tómendegi múnásebet arqalı
(4)
keltirilgen massa túsinigi kiritilse, Lagranj funkciyası tómendegi ápiwayı kóriniske keledi:
(5)
Nátiyjede eki materiallıq noqattıń ózara tásiri máselesi bir materiallıq noqattıń U(r) kórinisli sırtqı maydandaǵı háreketi máselesine keltirildi. Hár bir deneniń traektoriyası bolsa (3) formulalar arqalı tabılıwı múmkin.
Keltirilgen massanı jaqsılaw qılıw ushın eki shegaralıq jaǵdaylardı kóreyik.
Birinshi jaǵday: , yaǵnıy, birinshi deneniń massası ekinshisinen júdá úlken bolsın (kóz aldımızǵa quyash hám jerdi keltiriw múmkin). Bul jaǵdayda hám boladı. Sistemanıń inerciya orayı massası úlken materiallıq noqattıń jaqınında jaylasqan boladı, massası kishi dene onıń átrapında r aralıqta aylanatuǵın boladı.
Ekinshi jaǵday: . Bul jaǵdayda hám inerciya orayı eki deneniń qaq ortasında jaylasqan boladı. Eki dene de sol oray átirapında aylanadı.
(5) Lagranj funkciyası menen ańlatılatuǵın máseleni sheshiwge ótemiz. Potencial energiya tek ǵana orayǵa shekem bolǵan aralıqqa baylanıslı bolǵanı ushın bunday maydan oraylıq maydan dep aytıladı, kórilip atırǵan massalar bolsa oraylıq maydandaǵı háreket máselesi dep ataladı.
Eyler-Lagranj teńlemeleri bul jaǵdayda tómendegi kórinisti aladı:
(6)
Oń táreptegi kúsh radius-vektor boyınsha baǵıtlanǵan:
(7)
Onıń san mánisi orayǵa shekem bolǵan aralıq dıń funkciyasıdir. (6) teńlemeler sisteması bolıp, onıń sheshimlerin tabıw ushın háreket integralları qollanılıwı kerek.
Másele sferik simmetriyaǵa iye bolǵanı ushın (5) Lagranj funkciyasın sferik koordinat sistemasın ashıp shıǵamız:
(8)
Bul ańlatpa ele quramalı. Saqlanıwshı shamalardı anıqlayıq. Olardıń ishinde birinshisi-impuls momenti. Onıń saqlanıwshı shama ekenligi ápiwayı jol menen dálillew múmkin:
(9)
Bul dálillewde (6) (7) formuladan hám qálegen vektordıń óz-ózine vektor kóbeymesi nolge teńliginen paydalanıladı.
Háreket muǵdarı momentı
(10)
Deneniń radius-vektorına bárqulla perpendikulyar, onıń ózgermewi dene radiusinıń turaqlı bir tegislikte jatıwı yaǵnıy, háreket bir tegislikte ǵana júz beriwin bildiredi. Sol tegislik retinde tegislik alınadı. Bul degeni biz z-kósher háreket muǵdarı momenti boyınsha baǵitlandırdıq degeni.
Lagranj funkcıyası ushın ańlatpanı bir baǵanaǵa ápiwaylastırıwǵa erisildi.
(11)
Kórinip turıptı. Lagranj funkciyası -koordinataǵa baylanıslı emes. Bunday koordinatalardı ciklik koordinata dep ataladı. Ciklik koordinataǵa sáykes keliwshi ulıwmalasqan impulslar saqlanıwshı shama boladı:
(12)
Bizdiń jaǵdayda ciklik koordinataǵa sáykes keliwshi ulıwmalasqan impuls
(13)
Háreket muǵdarı momentiniń z komponentası:
(14)
Bıraq z kósher boyınsha baǵıtlanǵan, demek, . Bul juwmaqtan di tawip (11) Lagranj funkciyasın
(15)
Kórinisine keltiremiz. Óz náwbetinde bul energiya ushın
(16)
Formulani beredi. Onı
(17)
Kóriniske keltirip, tómendegidey ańlatpa alınadı:
(18)
Integral esaplansa radiustı waqıttıń funkciyasın tapqan bolamız . Traektoriyanı tolıq tabıw ushın múyeshtıń hám waqıtqa baylanıslıǵın tabıw kerek. Bunıń ushın (14) den paydalanıw jetkilikli:
(19)
Eki aqırǵı integral r, hám t ózgerıwshiler arasındaǵı eki múnásebetti berip traektoriyanı tolıq anıqlap beredi.
Eger (16) formulada radial tezlik nolge teńlestirilse: tómendegini alamız:
; (20)
Táriyp boyınsha bul radial baǵıttaǵı toqtaw noqatları ushın teńleme. Teńlemeni ǵa salıstırǵanda sheship mine sol “toqtaw noqatları” (olardıń sanı teńlemeniń tártibine baylanıslı) tabıladı. Bul noqatlarda dene óziniń oraydan uzaqlasıwın oǵan jaqinlasiwǵa ózgertiredi hám kerisinshe. Múyeshlik tezlik dıń belgisi ese (13) nan kórinip turıptı, hesh qashan ózgermeydi hám nolge teń bolmaydı. Demek oraylıq maydanda dene oray átirapında aylanıw baǵıtı hesh qashan ózgermeytuǵın eken. Radial háreket bolsa quramalılaw tábiyatqa iye. Eger
(21)
belgilew kiritilse (16) formulanı
(22)
kóriniske keltirip alıw múmkin. Bul formulaǵa bir ólshemli háreket formulası retinde qaralsa oraylıq maydandaǵı radial háreket (21) múnásebet arqalı anıqlanatuǵın effektiv potencialdaǵı háreket bolıp shıǵadı. Eger Lagranj teńlemesinde ańlatpa (ulıwmalasqan) kúshtiń ańlatılıwı eslense effektiv potencialdaǵı qosımsha aǵza
(23)
kóriniske iye bolǵan oraydan sırtqa baǵitlanǵan qosımsha kúshge alıp keledi. Bul kúsh oraydan qashıwshi kúsh dep ataladı. Háreket muǵdarı momenti menen baylanıslı bolǵan bul kúshtiń payda bolıwı belgili bir aqıbetlerge alıp keledi.
Birinshiden oraylıq maydanda háreket qılıp atirǵan dene maydan orayına túse alama yamasa túse almayma degen sorawǵa juwap sol qosımsha kúshge baylanıslı. Hátte, maydan tartıw maydanı bolǵan da orayǵa túsiw ushın (23) kúshin jeńiw kerek. Bunıń ushın bolsa limitinde
(24)
yaki bul múnásebet integrallansa limitde
(25)
bolıwı kerekligi tabiladı. Álbette, hámme maydanlar hám bul teńsızlikti qanaatlandırmaydı. Bul teńsizlik orınlanıwı ushın potencial U(r) yakı , kórinisine iye bolıwı kerek, yakı kórinisine iye bolǵan da bolıwı kerek.
Ekinshiden, begili bir jaǵdaylarda potencial energiyadaǵı bul qosımsha aǵza tartıw maydanı bolǵan potencial maydanda hám finit háreketiniń múmkin emesligine alıp keliwi múmkin. Bunı kóriw ushın tartıw maydani dıń ulıwma grafigin sızayıq (álbette hár bir maydanlar ushın grafiktiń awıwı hám noqatpa-noqat san mánisleri hár qıylı boladı, bıraq shártine boysınatuǵın funkciyanıń eń ulıwma kórinisi sol grafikke sáykes keledi). Endi bul grafikke funkciyanıń grafigi úspe-ús qoyılsa (1-súwretke qarań). Nátiyjeli grafikde potencial shuńqır barma joqpa? Potencial shuńqır bolıwı ushın dıń mánisi jetkilikli dárejede bolıwı kerek (onıń san mánisi konkret maydanǵa baylanıslı boladı).
Demek, deneniń háreket muǵdarı momenti belgili bir shegaradan asıp ketse, finit te háreket bolmawı da múmkin eken.
1-súwret
Háreket shegaraları energiya nıń san mánisin anıqlap beredi (ol óz gezeginde, baslanǵısh shártler arqalı anıqlanadı). Bul tastıyqtı 1-súwretke qarap túsiniw qıyın emes.
Biraq energiyanıń mánisi sonday bolsa, háreket tek ǵana bir tárepten shegaralanǵan bolsa (1-d súwrettegi jaǵday) bunday háreket infinit háreket boladı dene sheksizlikten keledi hám sheksizlikke qarap ketedi. Eger háreket eki tárepten shegaralanǵan bolsa (1-d súwretdegi jaǵday) ol finit háreket boladı. Háreket finit bolıwı ushın effektiv potencial “shuńqırǵa” iye bolıwı kerek.
Finit háreketıne sáykes keliwshi traektoriya hámme jaǵdaylarda hám jabıq bola bermeydi. Ápiwayı matematikalıq kóz qarastan kelip shıǵadı, (19) integraldıń nan ǵa shekem mánisi sol integraldıń nan ǵa shekem mániske teń. Demek, dene orayǵa eń jaqın noqattan shıǵıp jáne sol noqatqa qaytıp keliwine shekem múyeshtiń ózgeriwi
(26)
ǵa teń boladı. Traektoriya jabıq bolıwı ushın bolıwı kerek, bul jerde hám -pútin sanlar, bul jaǵdayda dene márte aylanǵannan keyin jáne baslanǵısh noqatǵa qaytip keledi.
|
| |
