|
Kompyuter injiniring” fakulteti “at-servis” yo‘nalishi talabasi Qahharov Shamshodbekning
|
| bet | 2/3 | | Sana | 15.05.2024 | | Hajmi | 214,99 Kb. | | #234350 |
Bog'liq NYUTON BINOMI KOEFFITSIENTLARINI HISOBLASH FORMULALARI ISBOTIa + b binomialning vakolatlarini ko'rib chiqing .
n = 0, ( a + b ) 0 = 1
n = 1, ( a + b ) 1 = 1a+1 b
n = 2, ( a + b ) 2 = 1a 2 + 2a b +1 b 2
n = 3, ( a + b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3a b 2 +1 b 3
n = 4, ( a + b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4a b 3 +1 b 4
n = 5, ( a + b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5a b 4 + 1 b 5
Quyidagilarga e'tibor qaratamiz naqshlar :
- hosil bo‘lgan ko‘phadning hadlar soni binomning ko‘rsatkichidan bitta katta bo‘lsa;
- birinchi hadning ko'rsatkichi n dan 0 ga kamayadi, ikkinchi hadning ko'rsatkichi 0 dan n gacha ortadi;
- barcha monomlarning darajalari shartdagi binomial darajasiga teng;
- har bir monomial har xil darajadagi birinchi va ikkinchi ifodalarning ko'paytmasi va ma'lum son - binom koeffitsienti;
- kengayishning boshidan va oxiridan teng masofada joylashgan binom koeffitsientlari tengdir.
Ushbu formulalarning umumlashtirilishi Nyutonning binomial formulasi deb ataladigan quyidagi formuladir:
( a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)
Bu formulada n har qanday natural son bo'lishi mumkin. [ 2]
formulani chiqaramiz . Avvalo, yozamiz:
( a + b ) n = ( a + b )( a + b ) ... ( a + b ), (7)
bu erda ko'paytiriladigan qavslar soni n ga teng . Yig'indini yig'indiga ko'paytirishning odatiy qoidasidan kelib chiqadiki, (7) ifoda barcha mumkin bo'lgan mahsulotlar yig'indisiga teng bo'lib, uni quyidagicha tuzish mumkin: birinchi yig'indining har qanday hadi a + b ning istalgan hadiga ko'paytiriladi. ikkinchi yig'indi a + b , uchinchi yig'indining istalgan muddati bilan va hokazo. .d. Masalan , n = 3 uchun bizda:
( a + b )( a + b )( a + b ) = aaa + aab + aba + abb + baa + bob + bba + bbb .
( a + b ) n ifodasidagi atamalar a va b harflaridan tuzilgan n uzunlikdagi qatorlarga (birma-bir) mos keladi . Shartlar orasida o'xshash atamalar bo'ladi; Shubhasiz, bunday a'zolar bir xil miqdordagi a harflarini o'z ichiga olgan satrlarga mos keladi . Lekin aynan k marta a harfini o'z ichiga olgan qatorlar soni C n k ga teng . Bu aniq k marta koeffitsientli a harfini o'z ichiga olgan barcha atamalar yig'indisi C n k ga teng ekanligini anglatadi. a n - k b k . k 0, 1, 2, ..., n-1, n qiymatlarini qabul qilishi mumkinligi sababli, bizning fikrimizdan (6) formula kelib chiqadi. E'tibor bering, (6) qisqaroq yozilishi mumkin:
(8)
(6) formula Nyuton nomidan atalsa ham, aslida u Nyutondan oldin ham kashf etilgan (masalan, Paskal buni bilgan). Nyutonning xizmati shundan iboratki, u butun son bo'lmagan ko'rsatkichlar holati uchun ushbu formulaning umumlashtirilishini topdi. Bu 1664–1665 yillarda I. Nyuton edi. ixtiyoriy kasr va manfiy darajalar uchun binomial darajasini ifodalovchi formulani chiqardi.
0 n , C 1 n , ..., C n n raqamlari odatda binomial koeffitsientlar deb ataladi, ular quyidagicha aniqlanadi:
(6) formuladan bu koeffitsientlarning bir qancha xossalarini olish mumkin. Masalan, a =1, b = 1 deb faraz qilsak, biz quyidagilarni olamiz:
2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,
bular. formula (4). Agar biz a = 1, b = -1 qo'ysak, bizda:
0 = C 0 n – C 1 n + C 2 n – C 3 n + ... + (- 1) n C n n
yoki C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ....
Demak, kengayishning juft hadlari koeffitsientlari yig'indisi kengayishning toq hadlari koeffitsientlari yig'indisiga teng; ularning har biri 2 n -1 ga teng .
Kengayish uchlaridan teng masofada joylashgan atamalar koeffitsientlari tengdir. Bu xossalar munosabatdan kelib chiqadi: C n k = C n n - k
Qiziqarli maxsus holat
( x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n -1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0
yoki qisqaroq
( x + 1) n = ∑ C n k x n - k .
Misollar . Toping parchalanish binom
a ) ( a + b ) 4 =C 0 4 a 4 b 0 +C 1 4 a 3 b 1 + C 2 4 a 2 b 2 + C 3 4 a 1 b 3 + C 4 4 a 0 b 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4
b) ( x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5
c) ( 1 + 2 a ) 4 = 1 4 + 4 1 3 2 a + 6 1 2 (2 a ) 2 + 4 1 1 (2 a ) 3 + (2 a ) 4 =
=1 + 8 a + 24 a 2 + 32 a 3 + 16 a 4
G) ( x–y) 6 = (x + (-y)) 6 = x 6 + 6x 5 (-y) + 15x 4 (-y) 2 + 20x 3 (-y) 3 +
+15x 2 (-y) 4 + 6x(-y) 5 + y 6 = x 6 – 6x 5 y +15x 4 y 2 – 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 – 6xy 5 + y 6
e) tenglamani yeching
Yechim. Keling, almashtiramiz:
Keyin tenglamani qayta yozamiz:
Tenglamaning chap tomoniga binomial formulani qo'llaymiz:
Yakuniy
javob: . [5]
1.5. Nyuton binomialining masalalarni yechishda qo‘llanilishi
Misol. Ifodani kengaytirishda oltinchi had uchun Nyuton binomi koeffitsientini toping ( a + b ) 10 .
Yechim. Bizning misolimizda n= 10 , k =6-1=5 . Shunday qilib, biz kerakli binomial koeffitsientni hisoblashimiz mumkin:
Misol. Binamial kengayishning 13-chi hadini toping
.
Yechim. Binomial kengayishning umumiy atamasi formulasiga ko'ra,
Misol. Binomli kengayish hadining sonini toping
, tarkibida x mavjud emas .
Yechim. Bizda kengayishning umumiy muddati uchun
Kengaytirish muddati x ga bog'liq emas ; bu ko‘rsatkich x 0, , 16 – 4 m = 0, m = 4 ekanligini bildiradi.
x ga bog'liq emas .
Nyuton binomidan foydalanish ifodaning berilgan songa bo'linishini isbotlashga imkon beradigan misollar.
Misol. Ifodaning qiymati ekanligini isbotlang , Qayerda n - natural son, 16 ga bo'linadi izsiz.
Yechim. Ifodaning birinchi hadini quyidagicha ifodalaylik va Nyutonning binomial formulasidan foydalaning:
Olingan mahsulot asl ifodaning bo'linuvchanligini isbotlaydi 16.
Misol. 11 10 - 1 soni 100 ga bo'linishini isbotlang.
Yechim.
Olingan mahsulot asl ifodaning 100 ga bo'linishini isbotlaydi.
1.6. Nyutonning binomial formulasini taxminiy hisob-kitoblarga qo'llash
Nyuton binomial formulasini kiritish
( a + b ) n = a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + ... + C n n - 1 ab p - 1 + C n p b p
|
| |
