Eng sodda ratsional funksiyalar va ularni integrallash. Quyidagi ko‘rinishdagi to‘g‘ri ratsional kasrlarni qaraymiz:
I. , II. ,
III. , IV. .
Bunda A, B, a, p, q–haqiqiy sonlar, k=2,3,4, .... , va x2+px+q kvadrat uchhad haqiqiy ildizlarga ega emas, ya’ni uning diskriminanti D=p2 – 4q<0 deb olinadi.
3-TA’RIF: Yuqorida kiritilgan RI(x) – RIV(x) mos ravishda I–IV tur eng sodda ratsional kasrlar deb ataladi.
Eng sodda ratsional kasrlarni integrallash masalasini qaraymiz.
I va II turdagi oddiy kasrlarni integrallash jadval integrallariga oson keltiriladi:
;
.
III turdagi eng sodda RIII(x) ratsional kasrning integralini hisoblash usuli oldingi paragrafda (I3 integral) ko‘rilgan edi. Shunday bo‘lsada, bayonimizni to‘liq bo‘lishi va hisoblashlarni so‘ngi nuqtasigacha yetkazish maqsadida , bu usulni biz qarayotgan
hol uchun yana bir marta eslatamiz:
=
.
Endi IV turdagi eng sodda RIV(x) kasrning integralini hisoblaymiz:
.
Bu yerdagi
,
integrallarni hisoblaymiz:
;
.
Bu tenglikdagi oxirgi integralga bo‘laklab integrallash formulasini qo‘llaymiz. Buning uchun integral ostidagi ifodani
ko‘rinishda bo‘laklaymiz. Bu holda du=dt va
bo‘lgani uchun , bo‘laklab integrallash formulasiga asosan, ushbu tenglikni hosil qilamiz:
.
Natijada Jk integralni hisoblash uchun
formulani hosil etamiz.
Bu yerdan Jk integralni hisoblash uchun ushbu
(4)
rekkurent formula o‘rinli ekanligini ko‘ramiz. Bu rekkurent formula bo‘yicha Jk integralni hisoblash xuddi shu ko‘rinishdagi, ammo k parametrining qiymati bittaga kichik bo‘lgan Jk–1 integralni hisoblashga olib keladi. O‘z navbatida Jk–1 integralni hisoblash Jk–2 integralga keltiriladi va bu jarayon quyidagi J1 jadval integrali hosil bo‘lguncha davom ettiriladi:
.
Jk integral uchun hosil qilingan ifodaga t va σ o‘rniga ularning
qiymatlarini qo‘yib, bu integral javobini topamiz.
Misol sifatida IV turdagi ratsional kasrning ushbu integralini hisoblaymiz:
. (5)
Bunda J2 quyidagi integralni ifodalaydi:
.
Oxirgi integralni yuqorida ko‘rsatilgan usulda bo‘laklab integrallaymiz:
.
Demak ,
.
J2 integralning bu qiymatini I uchun hosil qilingan (5) tеnglikka qo‘yib, berilgan I integral javobini topamiz :
.
Shunday qilib, I–IV turdagi eng sodda ratsional kasrlar elementar funksiyalarda integrallanuvchi va ularning integrallari logarifmik, arctg(ax+b) ko‘rinishdagi teskari trigonometrik funksiyalar hamda ratsional kasrlar orqali ifodalanadi.
|
