1. Ratsional funksiyalar. Eng sodda ratsional funksiyalar va ularni integrallash. Ratsional funksiyalarni integrallash
MAVZU: RATSIONAL KASRLAR
REJA:
1.Ratsional funksiyalar.
2.Eng sodda ratsional funksiyalar va ularni integrallash.
3.Ratsional funksiyalarni integrallash.
Ratsional funksiyalar. Ma’lumki ,
Pn(x)=anxn + an–1xn-1 + a n–2xn-2 +… a1x + a0 (an≠0) (1)
ko‘rinishdagi funksiya ko‘phad deyiladi. Bunda an, an–1, an–2, …, a1, a0 o‘zgarmas sonlar bo‘lib, ular ko‘phadning koeffitsiyеntlari , n esa ko‘phadning darajasi deb ataladi.
Masalan, P3(x)=5x3 –x2 +2x+4 – III darajali, P2(x)=3x2 –5x+2 – II darajali, P1(x)=8x+3 – I darajali ko‘phadlardir.
Izoh: Har qanday o‘zgarmas funksiyani P0(x)=a0 – 0-darajali ko‘phad deb qarash mumkin.
1-TA’RIF: Ikkita ko‘phad nisbatidan iborat funksiya ratsional kasr yoki ratsional funksiya deyiladi.
Odatda ratsional kasr R(x) kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan,
(2)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Masalan,
ratsional kasrlardir.
Izoh: Har qanday Qm(x) ko‘phadni maxraji P0(x)=1 bo‘lgan ratsional kasr kabi qarash mumkin va shu nuqtai nazardan ko‘phadlar ba’zan butun funksiyalar deb ataladi.
Ma’lumki, m/n oddiy (sonli) kasrda maxraj suratdan katta, ya’ni n>m bo‘lsa, bu kasr to‘g‘ri, n≤m holda esa noto‘g‘ri kasr deyiladi. Bu tushuncha ratsional kasrlar uchun quyidagicha kiritiladi.
2-TA’RIF: Agar (2) ratsional kasrda maxrajning darajasi n>m bo‘lsa, u to‘g‘ri, n≤m holda esa noto‘g‘ri ratsional kasr dеb aytiladi.
Masalan,
to‘g‘ri,
noto‘g‘ri ratsional kasrlar bo‘ladi.
Har qanday noto‘g‘ri m/n (m>n) oddiy kasrni
ko‘rinishda, ya’ni butun son va to‘g‘ri kasr yig‘indisi kabi ifodalash mumkin. Xuddi shunday tasdiq noto‘g‘ri ratsional kasrlar uchun ham o‘rinli bo‘ladi, ya’ni ular uchun ushbu tenglikni hosil qilish mumkin:
. (3)
Bunda Lm–n(x) va Gr(x) ko‘rsatilgan tartibli ko‘phadlar bo‘ladi.
Demak, har doim noto‘g‘ri ratsional kasrni ko‘phad (butun funksiya) va to‘g‘ri ratsional kasr yig‘indisi kabi ifodalash mumkin.
Masalan,
noto‘g‘ri ratsional kasr suratini maxrajiga ustun usulida bo‘lib, uni
ko‘rinishga keltira olamiz.
Har qanday ko‘phad darajali funksiyalarning algebraik yig‘indisi sifatida oson integrallamadi va uning integrali yana ko‘phaddan iborat, ya’ni elementar funksiya bo‘ladi. Demak, (3) tenglikka asosan, har qanday ratsional kasrni integrallash masalasi to‘g‘ri ratsional kasrni integrallash masalasiga olib keladi. Shu sababli kelgusida faqat to‘g‘ri ratsional kasrlarni integrallash bilan shug‘ullanamiz.
|
