O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR
VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT
TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
QARSHI FILIALI
TELEKOMMUNIKATSIYA TEXNOLOGIYALARI
FAKULTETI
TT_13-23 S GURUH TALABASINING
O’zbekistonning yangi tarixi
FANIDAN
1-MUSTAQIL ISHI
BAJARDI: Suxrob Uzoqboyev
QABUL QILDI: XO‘JAYEV L. H.
QARSHI-2024
Reja:
a) Differensial tenglamaga keltiriladigan geometrik masalalar.
b) Differensial tenglama yechiming mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema
c) Yoʻnalishlar maydoni. Izoklinlar usuli. Yoʻnalishlar maydoni asosida integral egri chiziqlarni chizish.
d) Bir jinsliga olib kelinadigan differensial tenglamalar
e) Umumlashgan bir jisli differensial tenglamalar.
f) Koʻzgu masalasi;
Differensial tenglamaga keltiriladigan geometrik masalalar.
Geometrik masalalarni yechishda, avval chizmani chizib olish kerak. Keyin izlanayotgan funksiyani y = y (x) orqali belgilab masala shartini miqdorlarni x, y va ( urinmaning burchak koeffitsiyenti ekanligidan foydalanish kerak)lar orqali ifodalansa, hosil bo‘lgan tenglik differensial tenglama bo‘ladi. Differensial tenglamani yechib, y = y (x) izlanayotgan funksiyani topamiz.
Misol. egri chiziqlar ( – parametr) oilasining izogonal trayektoriyalarini toping (shu oila egri chiziqlari bilan bir xil burchak ostida kesishuvchi boshqa bir oila izogonal trayektoriyalari deyiladi)
Yechimi .Berilgan chiziqlar oilasining differensial oilasini tuzamiz. Buning uchun quyidagi sistemadan C parametrni yo‘qotamiz:
(1)
Natijada berilgan chiziqlar oilasining
ko‘rinishdagi tenglamasini olamiz (bu yerda umuman olganda ko‘rinishdagi tenglama hosil bo‘ladi, biz uni ga nisbatan yechib olish mumkin deb faraz qilamiz).
Ma’lumki, nuqtada kesishuvchi ikki egri chiziq orasidagi burchak deb, egri chiziqlarga bu nuqtalarda o‘tkazilgan urinmalar orasidagi burchakka aytiladi. Biri birinchi (berilgan), ikkinchisi ikkinchi (topish kerak bo‘lgan) chiziqlar oilasiga tegishli bo‘lgan nuqtada o‘zaro kesishuvchi ixtiyoriy ikkita chiziqni I va II deb belgilab olaylik (2-rasmga qarang). I va II chiziqlarga M nuqtada o‘tkazilgan urinmalarning OX o‘qi bilan hosil qilgan burchaklarni mos ravishda bilan belgilasak, I va II chiziqlar orasidagi burchak bo‘ladi. Bundan
(2)
2-rasm.
|
tenglikni olamiz. Tushunarliki, – ma’lum ( burchak berilgan),
( chiziqqa berilgan nuqtadan o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini beradi).
Demak, (2) munosabat
(3)
|
ko‘rinishida bo‘ladi. Bu umumiy integrali berilgan egri chiziqlar oilasi uchun izogonal trayektoriyalar bo‘ladi, ular berilgan egri chiziqlarni bir xil burchak ostida kesib o‘tadi. Agar trayektoriyalar ortogonal bo‘lsa, u holda
bo‘lib, ortogonal trayektoriyalar oilasining differensial tenglamasi ushbu ko‘rinishda bo‘ladi:
(4)
Xususan, chiziqlar oilasiga ortogonal bo‘lgan (chiziqlar oilasini) trayektoriyalarini topish kerak bo‘lsin.
Avvalo, chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzib olamiz:
Demak, berilgan chiziqlar oilasining differensial tenglamasi ekan. (4) tenglikka ko‘ra izlanayotgan trayektoriyalarning differensial tenglamasi
(5)
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu differensial tenglamani yechamiz
Demak, izlanayotgan chiziqlar oilasining tenglamasi bo‘ladi.
Misol. Shunday chiziqni topingki, uning ixtiyoriy nuqtasidan o‘tkazilgan urinma, urinish nuqtasi ordinatasi va abssissalar o‘qi xosil qilgan uchburchak yuzi o‘zgarmas ga teng bo‘lsin.
3-rasm.
|
Yechimi. Izlanayotgan chiziqning ixtiyoriy nuqtasini olaylik (3-rasmga qarang). Tushunarliki, chiziqqa nuqtadan o‘tkazilgan urinma bilan OX o‘qi orasidagi burchak uchun tenglik o‘rinli. Biz quyidagilarga egamiz:
|
|
