y(x) funksiya – botiq.
boʻladi y<0 boʻlganda va x –ixtiyoriy boʻlganda ( ).
Demak III va IV choraklarda y(x) funksiya – qavariq.
Olingan barcha maʼlumotlarga asoslanib, integral egri chiziqlarni yasaymiz.
http://fayllar.org
Bir jinsliga olib kelinadigan differensial tenglamalar
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1)
Agar M(x,y) va N(x,y) funksiyalar bir xil tartibdagi bir jinsli funtsiyalar bo’lsa, u holda (1) tenglama bir jinsli tenglama deyiladi. Matematik analiz kursidan ma’lumki, berilgan f(x,y) funksiya n - tartibli bir jinsli funksiya deyiladi, agar ixtiyoriy t uchun f(tx,ty)= (2) tenglik o’rinli bo’lsa. Endi ushbu ma’lumotdan foydalanib, (1) tenglamani tahlil etamiz (2) tenglikda t= almashtirish bajaramiz
f (1,
yoki
(3)
(3) formuladan foydalanib ( 1 ) ni quyidagicha yozamiz .
Demak bir jinsli tenglama . (4) Bu tenglamadan ko’rinadiki, koordinata boshida birorta ham integral chiziq o’tmaydi. Bir jinsli tenglamani yechish uchun
y=zx (5)
almashtirish qilamiz, bunda z=z(x) yangi noma’lum funksiya (5) ni (4) tenglamaga qo’yamiz, buning uchun
dy=xdz+zdx ( )
ko’rinishda yozish mumkin.
Differensialni (hosilani ) topamiz.
soddalashtirsak ,
(z)
yoki
ko’rinishga keladi,
Bu o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamadir, so’ngi tenglamani integrallab
F(z,x,c)=0
funksiyani olamiz.
So’ng (5) almashtirishdan z ni topib
F( yoki F(x,u,s)=0
umumiy integralga ega bo’lamiz.
MISOL: Tenglamani yeching.
avvalo bu tenglama bir jinsli ekanligini ko’rsatamiz. (2) formulaga ko’ra x=xt , y=yt deb olamiz
bundan kelib chiqadiki,
bo’lib m=2 bo’ladi. U holda berilgan tenglama uchun y=zx almashtirish qilish mumkin. Bundan dy=zdx+xdz bo’lib, tenglamaga qo’yilsa
a)
integrallab, topamiz:
yoki
yoki x(y-1)=yc.
b) bo’lsa, u holda
bo’lib , z=0, z=1 undan yuqoridagi almashtirishga ko’ra
ifodalarga ega bo’lamiz.
Demak umumiy integral .
Bir jinsli tenglamalarga keltiriladigan differensial tenglamalardan biri
(6)
ko’rinishdagi tenglama bo’lib, unda s1 va s2 lardan kamida bittasi noldan farqli bo’lsin. Unda 2 holni qaraymiz
1-hol:
bo’lsin
Bu holda sistemani yechib, x=x0, u=u0 yechimni topamiz va
(7)
almashtirish bajaramiz. (7) almashtirishni (6) tenglamaga qo’ysak
,
ko’rinishga keladi.
Bundan (4) ko’rinishdagi bir jinsli tenglamani olamiz, ya’ni
.
Bu tenglamani oldingi usulda yechish mumkin.
2-hol. Agar
bo’lsa, u holda
tenglikka ega bo’lamiz.
Bundan esa
bo’ladi. (6) tenglamaga qo’ysak
( 8 )
ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz.
(8) tenglamada z=a2x+b2y almashtirish bajaramiz, u holda o’zgaruvchilarni ajraladigan tenglamaga hosil bo’ladi.
|
