Muhammad al-Xorazmiy
nomidagi Toshkent axborot
texnologiyalari
universiteti Farg'ona filiali
"Ehtimollik va statistika" fanidan
Bajargan
MUSTAQIL ISH
752-22
Mavzu: Bog‘liqsiz tajribalar ketma-ketligi.
Bajardi: Jakparaliyev Dostonbek
Qabul qildi: Bozarov B. I.
Bog‘liqsiz tajribalar ketma-ketligi.
Reja:
1. Bog‘liqsiz tajribalar ketma-ketligi.
2. Bernulli formulasi.
3. Binomial ehtimol xossalari.
4. Xulosa.
5. Foydalanilgan adabiyotlar.
Bog‘liqsiz tajribalar ketma-ketligi.
Agar bir necha tajribalar o‘tkazilayotganida, har bir tajribada biror A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi boshqa tajriba natijalariga bog‘liq bo‘lmasa, bunday tajribalar bog‘liqsiz tajribalar deyiladi.
n ta bog‘liqsiz tagribalar o‘tkazilayotgan bo‘lsin. Har bir tajribada A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi va ro‘y bermasligi ehtimolligi bo‘lsin.
Masalan, 1) nishonga qarata o‘q uzish tajribasini ko‘raylik. Bu yerda A={o‘q nishonga tegdi}-muvaffaqqiyat va ={o‘q nishonga tegmadi}-muvaffaqqiyatsizlik; 2) n ta mahsulotni sifatsizlikka tekshirilayotganda A={mahsulot sifatli}-muvaffaqqiyat va ={mahsulot sifatsiz}-muvaffaqqiyatsizlik bo‘ladi.
Bu kabi tajribalarda elementar hodisalar fazosi faqat ikki elementdan iborat bo‘ladi: , bu erda -A hodisa ro‘y bermasligini, -A hodisa ro‘y berishini bildiradi. Bu hodisalarning ehtimolliklari mos ravishda p va q (p+q=1) lar orqali belgilanadi.
Agar n ta tajriba o‘tkazilayotgan bo‘lsa, u holda elementar hodisalar fazosining elementar hodisalari soni 2n ga teng bo‘ladi. Masalan, n=3 da , ya’ni to‘plam 23=8 ta elementar hodisadan iborat. Har bir hodisaning ehtimolligini ko‘paytirish teoremasiga ko‘ra hisoblash mumkin:
n ta bog‘liqsiz tajribada A hodisa m marta ro‘y berish ehtimolligini hisoblaylik:
Har bir qo‘shiluvchi ko‘paytirish teoremasiga ko‘ra ga teng. Demak,
.
Agar n ta bo‘g‘liqsiz tajribaning har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi p ga, ro‘y bermasligi q ga teng bo‘lsa, u holda A hodisaning m marta ro‘y berish ehtimolligi quyidagi ifodaga teng bo‘ladi:
. (1.13.1)
(1.13.1) formula Bernulli formulasi deyiladi. ehtimolliklar uchun tenglik o‘rinlidir. Haqiqatan ham,
Nyuton binomi formulasida deb olsak,
, ya’ni
bo‘ladi.
(1.13.1) ehtimolliklar xossalari:
1. .
2. Agar bo‘lsa, .
3. n ta bog‘liqsiz tajribada A hodisaning kamida 1 marta ro‘y berishi ehtimolligi bo‘ladi.
Chunki, .
4. Agar ehtimollikning eng katta qiymati bo‘lsa, u holda quyidagicha aniqlanadi: , -eng ehtimolli son deyiladi va
a) agar np-q kasr son bo‘lsa, u holda yagonadir;
b) agar np-q butun son bo‘lsa, u holda ikkita bo‘ladi.
2. Bernulli formulasi.
Ω = {𝜔: 𝜔 = (𝜔1, 𝜔2, … , 𝜔𝑛);𝜔𝑘 = 0,1, … , 𝑁 − 1; 𝑘 = 1,2, … , 𝑛}
𝜔 = (𝜔1, 𝜔2, … , 𝜔𝑛) elementar hodisa 𝜔𝑘 ni 𝑘-nomerli tajribada 𝜔𝑘 hodisa ro‘y
beradi deb talqin qilamiz.
Har bir 𝜔 ∈ Ω elementar hodisaga
𝑝(𝜔) = 𝑝(𝜔1, 𝜔2, … , 𝜔𝑛) = 𝑝𝜔1 𝑝𝜔2 … 𝑝𝜔𝑛 (1)
ehtimolni mos qo‘yamiz, bu yerda manfiy bo‘lmagan p0, p1, . . . , pN−1sonlar
quyidagi shartni qanoatlantirsin:
∑𝑁−1 𝑝𝑖 = 1
𝑖=0 (2)
tenglik bilan berilgan 𝑝(𝜔) sonlar uchun (Ω, ℳ(Ω))o‘lchovli fazoda ehtimol o‘lchovini aniqlashi uchun 𝑝(𝜔) ≥ 0 bo‘lganligi sababli ∑𝜔∈Ω 𝑝(𝜔) = 1 ekanligini ko‘rsatish kifoya. Haqiqatan ham, (1),(2) tengliklarga ko‘ra,
∑ (𝜔) = ∑ (𝜔1, 𝜔2, … , 𝜔𝑛) =𝑁 𝜔∈Ω 𝜔1;𝜔2;…𝜔𝑛=0 = ∑ 𝑝𝜔1 𝑝𝜔2 … 𝑝𝜔𝑛 𝑁
𝜔1;𝜔2;…𝜔𝑛=0 = ∏ ∑ 𝑝𝜔𝑖 = 1 𝑁−1 𝜔𝑖=0 𝑛 𝑖=1.
Demak, Ω fazo, uning barcha qism to‘plamlaridan tashkil topgan 𝒜 Sistema 𝜎 − 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 va unda
𝑃(𝐴) = ∑𝜔∈𝐴 𝑝(𝜔) (3)
formula orqali kiritilgan ehtimol o‘lchovi ehtimollik modelini aniqlaydi.
t englikdagi pisonlar alohida olingan (fiksirlangan) tajribada 𝑖-natijaning ro‘y
berish ehtimolidan iborat. Haqiqatan ham, agar (𝑖) = {𝜔: 𝜔𝑘 = 𝑖} bo‘lsa, u holda (3) tenglikka ko‘ra
𝑃(𝐴𝑘(𝑖)) = ∑ 𝑝(𝜔1, 𝜔2, … 𝜔𝑘, … , 𝜔𝑛)
𝜔𝜖𝐴𝑘(𝑖)= = ∑ … ∑ ∑ ∑ …
𝑁−1 𝜔𝑘+1=0 ∑ 𝑝𝜔1 … 𝑝𝜔𝑘−1 𝑝𝑖𝑝𝜔𝑘+1 … 𝑝𝜔𝑛
= 𝑝𝑖 𝑁−1 𝜔𝑛=0 𝑁−1 𝜔𝑘=0 𝑁−1 𝜔𝑘−1=0 𝑁−1 𝜔1=0.
Faraz qilaylik, 𝛺𝑘 𝑘-tajribaning elementar hodisalar fazosi,k = ℳ(Ωk), 𝑃𝑘 esa(𝛺𝑘, 𝒜𝑘)o‘lchovli fazoda 𝑝0, 𝑝1, … , 𝑝𝑁−1 sonlar yordamida kiritilgan ehtimol o‘lchovi bo‘lsin. U holda (𝛺𝑘, 𝒜𝑘, 𝑃𝑘) ehtimollar fazosini 𝑘-tajribaning matematik modeli va (𝛺1, 𝒜1, 𝑃1), (𝛺2, 𝒜2, 𝑃2),….,(𝛺𝑛, 𝒜𝑛, 𝑃𝑛) ketma-ketlikni esa tajribalar ketma-ketligining modeli deb atash mumkin. Takrorlanadigan sinovlardan har birining u yoki bu natijasining ehtimolligi boshqa sinovlarda qanday natijalar bo‘lganligiga bog‘liq bo‘lmasa, ularbog‘liqmas tajribalar ketma –ketligini hosil qiladi deyiladi.
Misol. Talabaga fan bo‘yicha mavzuning 80 % ini o‘zlashtirgan. Yakuniy nazorat variantlariga to‘rttadan savol kiritilgan. Agar talaba barcha savollarga to‘g‘ri javob bersa unga 5 baho qo‘yiladi. Xuddi shunday agar talaba 3 ta savolga to‘g‘ri javob bersa unga 4 baho, agar 2 ta savolga to‘g‘ri javob bersa unga 3 baho, agar faqat bitta savolga to‘g‘ri javob bersa yoki birorta ham savolga javob bera olmasa talabaga 2 baho qo‘yiladi. Talabaning yakuniy nazoratdan a’lo yaxshi, qoniqarli, qoniqarsiz baholar olish ehtimollarini toping hamda ularni taqqoslang.
|
