|
Mundarija. Kirish I bob. Egri chiziqli integrallar
|
| bet | 9/14 | | Sana | 18.05.2024 | | Hajmi | 1,36 Mb. | | #242295 |
Bog'liq 2-Egri chiziqli integrallarTeorema. X(x,y) , Y(x,y) funksiyalar biror D sohaning barcha nuqtalarida o’zining xususiy hosilalari bilan birga uzluksiz bo’lsin. U vaqtda shu sohada yotgan ixtiyoriy L yopiq kontur bo’yicha olingan egri chiziqli integral nolga teng, ya’ni
bo’lishi uchun D sohaning hamma nuqtalarida
tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isbot. D sohadagi ixtiyoriy yopiq L konturni ko’rib chiqamiz va bu kontur uchun Grin formulasini yozamiz:
Agar (1.4.9) shart bajarilsa, chap tamondagi ikki o’lchovli integral aynan nolga teng bo’ladi, demak,
Shunday qilib, (1.4.9) shartning yetarli ekani isbotlandi.
Endi bu shartning zaruriyligini, ya’ni agar D sohada yotgan ixtiyoriy L yopiq egri chiziq uchun (1.4.8) tenglik bajarilsa, shu sonning har bir nuqtasida (1.4.9) shartning ham bajarilishini isbot qilamiz.
(1.4.8) tenglik bajariladi, ya’ni:
(1.4.9) shart esa hech bo’lmaganda bitta nuqtada bajarilmaydi, ya’ni
deb aksini faraz etamiz. Masalan, biror nuqtada ushbu tengsizlik bajarilsin:
Bu tengsizlikning chap tamoni uzluksiz funksiyadan iborat, shuning uchun u funksiya nuqtani o’z ichiga olgan va yetarli darajada kichik bo’lgan biror D’ sohaning hamma nuqtalarida musbat hamda biror sondan katta bo’ladi. Shu soha bo’yicha ayirmadan ikki o’lchovli integral olamiz. Uning qiymati musbat bo’ladi. Haqiqatdan,
Biroq, Grin formulasiga muofiq, so’ngi tengsizlikning chap tamoni D’ sohaning L’ chegarasi bo’yicha olingan (bizning farazimizga ko’ra nolga teng bo’lgan) egri chiziqli integralga tengdir. Shuning uchun so’ngi tengsizlik (1.4.8) shartga qarama-qarshidir, demak, ayirmani hech bo’lmaganda bitta nuqtada noldan farq qiladi deb olish noto’g’ridir. Bundan berilgan D sohaning hamma nuqtalarida
ekani kelib chiqadi.
Shunday qilib, teorema to’la isbot qilindi.
|
| |
