|
To’la differensialli tenglama
|
| bet | 10/14 | | Sana | 18.05.2024 | | Hajmi | 1,36 Mb. | | #242295 |
Bog'liq 2-Egri chiziqli integrallarTo’la differensialli tenglama:
Ta’rif. Agar
tenglamada M(x,y) va N(x,y) funksiyalar uzluksiz, differensiallanuvchi bo’lib, bular uchun
munosabat bajarilsa, (4) tenglama to’la differensialli tenglama deyiladi, bunda funksiyalar biror sohada uzluksiz funksiyalardir.
To’la differensiyalli tenglamalarni integrallash. Agar (1.4.10) tenglamaning chap tamoni to’la differensial bo’lsa, u holda (1.4.11) shartning bajarilishi va aksincha, (1.4.11) shart bajarilsa, (1.4.10) tenglamaning chap tamoni biror funksiyaning to’la differensiali bo’lishini isbotlaymiz, ya’ni (1.4.10) tenglamaning ko’rinishi
bo’ladi, demak uning umumiy integrali
Dastlab, (1.4.10) tenglamaning chap tamonini biror funksiyaning to’la differensiali deb faraz qilamiz, ya’ni
bu holda
Birinchi munosabatni y bo’yicha, ikkinchi munosabatni esa x bo’yicha differensiallab,
tengliklarni hosil qilamiz. Ikkinchi tartibli hosilalar uzluksiz deb faraz qilsak,
bo’ladi, ya’ni (1.4.11) tenglik (1.4.10) tenglamaning chap tamoni biror funksiyaning to’la differensiali bo’lishining zaruriy shartidan iboratdir. Bu shartning yetarli shart bo’lishini, ya’ni (1.4.11) tenglik bajarilganda (1.4.10) tenglamaning chap tamoni biror funksiyaning to’la differensiali bo’lishini ko’rsatamiz.
Munosabatdan
ni topamiz, bunda -yechim mavjud bo’lgan sohadagi ixtriyoriy nuqtaning absissasi.
bo’ich integrallashda ni o’zgarmas miqdor deb hisoblaymiz va shuning uchun integrallashda hosil bo’lgan ixtiyoriy o’zgarmas miqdor ga bog’liq bo’lishi mumkin. ni (1.4.13) munosabatlardan ikkinchisi bajariladigan qilib tanlab olamiz. Buning uchun keying tenglikning ikkala tamonini bo’yicha differensiallaymiz va natijani ga tenglaymiz:
ammo
bo’lgani uchun quydagilarni yoza olamiz:
ya’ni yoki
Demak,
yoki
Shunday qilib, funksiya
ko’rinishida bo’ladi. Bunda shunday nuqtaki , uning atrofida (1.4.10) diffirensial tenglamaning yechimi mavjud.
Bu ifodani ixtiyoriy C o’zgarmas miqtorga tenglab, (1.4.10) tenglamaning umumiy integralini hosil qilamiz:
Demak yuqoridagilardan
shartning bajarilishi , ifoda biror funksiyaning to’la differensiali bo’lishi bilan teng kuchli ekanligini ko’rish mumkin, ya’ni:
bunda
Lekin bu holda
vector funksiyaning gradientidir; gradienti vektorga teng bo’lgan funksiya, shu vektorning potensiali deb ataladi.
Bu holda M va N nuqtalarni tutashtiruvchi har qanday L egri chiziq bo’yicha olingan
egri chiziqli integrali funksiyaning shu nuqtadagi qiymatlarining
ayirmaga tengligini isbot qilamiz.
Isbot. Agar ifoda funksiyaning to’liq differensiali bo’lsa, u holda ; va egri chiziqli integral quydagi shakilda bo’ladi:
Bu integralni hisoblash uchun M va N nuqtalarni tutashtiruvchi L egri chiziqning parametric tenglamasini yozamiz:
Parametrning qiymatiga M nuqta, qiymatiga esa N nuqta mos keladi deb hisoblaymiz. Bu holda egri chiziqli integral quydagi aniq integralga keltiriladi:
Qavs ichidagi ifoda funksiyadan t bo’yicha olingan to’liq hosila bo’lib, t ning funksiyasidir . shuning uchun
|
| |
