|
Egri chiziqli integrallarning integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaslik sharti
|
| bet | 8/14 | | Sana | 18.05.2024 | | Hajmi | 1,36 Mb. | | #242295 |
Bog'liq 2-Egri chiziqli integrallarEgri chiziqli integrallarning integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaslik sharti.
M va N nuqtalarni tutashtiruvchi biror L tekis egri chiziq bo’yicha olingan:
egri chiziqli integralni qaraymiz. X(x,y) va Y(x,y) funksiyalar qaralayotgan D sohada uzluksiz xususiy hosilalarga ega deb faraz etamiz. Yozilgan egri chiziqli integralni qanday shartlarda L egri chiziqning shakliga bog’liq bo’lmay, faqat boshlang’ich va oxirgi M, N nuqtalarning vaziyatlarigagina bog’liq bo’lishini ko’rsatamiz.
Qaralayotgan D sohada yotgan M va N nuqtalarni tutashtiruvchi ikki MPN va MQN ixtiyoriy egri chiziqni qaraymiz (1.4.1-rasm). Faraz etaylik:
ya’ni
bo’lsin. Bu holda egri chiziqli integralning 1-va 2-xossalariga asosan (1.1-paragraf) quydagi:
ya’ni L yopiq kontur bo’yicha olingan
egri chiziqli integralni hosil qilamiz.
So’ngi formuladagi egri chiziqli integral MPN va NQM egri chiziqlardan hosil bo’lgan L yopiq kontur bo’yicha olinadi. Bu L konturni ixtiyoriy deb hisoblash mumkinligi ravshan.
1.4.1-rasm
Shunday qilib, istalgan ikki nuqta M va N uchun olingan egri chiziqli integral ularni tutashtiruvchi egri chiziqning shakliga bog’liq bo’lmay, balki u nuqtalarning vaziyatlariga bog’liq bo’lishi shartidan ixtiyoriy yopiq kontur bo’yicha olingan egri chiziqli integralning nolga teng bo’lishi kelib chiqadi.
Teskari xulosa ham o’rinlidir: agar ixtiyoriy yopiq kontur bo’yicha olingan egri chiziqli integral nolga teng bo’lsa, bu egri chiziqli integral istalgan ikki nuqtani tutashtiruvchi egri chiziq shakliga bog’liq bo’lmay, faqat u nuqtalarning vaziyatlariga bog’liq bo’ladi. Haqiqatdan, (1.4.8) tenglikdan (1.4.7) tenglik chiqadi.
1.2-paragrafdagi 4-misolda egri chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq emas, 3- misolda esa egri chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq, chunki bu misolda yopiq kontur bo’yicha olingan integral nolga teng bo’lmay, qaralayotgan kontur bilan chegaralangan yuzni beradi; shuningdek, 1 va 2-misollarda ham egri chiziqli integrallar integrallash yo’liga bog’liq.
Ixtiyoriy yopiq kontur boyicha olingan egri chiziqli integral nolga teng bo’lishi uchun X(x,y) va Y(x,y) funksiyalar qanday shartlarni qanoatlantirishi kerak, degan savol tug’ilishi tabiiy. Bu savolga quydagi teorema javob beradi.
|
| |
