|
Biror L egri chiziqli yo’lda o’zgaruvchi F kuchning bajargan ishini hisoblash haqidagi masala
|
| bet | 7/14 | | Sana | 18.05.2024 | | Hajmi | 1,36 Mb. | | #242295 |
Bog'liq 2-Egri chiziqli integrallarBiror L egri chiziqli yo’lda o’zgaruvchi F kuchning bajargan ishini hisoblash haqidagi masala. 1.1-panagrifning boshida ko’rsatilganidek
kuchning L=MN chiziq bo’yicha bajargan ishi ushbu:
egri chiziqli integralga teng.
Konkiret hollarda kuchning bajargan ishini qanday hisoblashni ko’rsatuvchi misol qarab chiqamiz.
1.3.4-rasm
4-misol. m massa nuqtadan nuqtaga ixtiyoriy L yo’l bo’yicha siljishidagi F og’irlik kuchi bajargan A ishi aniqlansin (1.3.4-rasm).
Yechish. F og’irlik kuchining koordinata o’qlardagi proeksiyalari:
X=0, Y=0, Z=-mg.
Demak, izlanayotgan ish:
Demak, bu holda egri chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmay, faqat boshlang’ich va oxirgi nuqtalarga bog’liq bo’ladi. Aniqroq qilib aytganda, og’irlik kuchining bajargan ishi faqat yo’lning boshlang’ich va oxirgi nuqtalarning balandliklari orasidagi ayirmasiga bog’liq bo’ladi.
1.4- . Grin formulasi
Biror D tekis soha bo’yicha olingan ikki o’lchovli integral bilan shu sohaning L chegarasi bo’yicha olingan egri chiziqli integral orasidagi munosabatni aniqlaymiz.
Oxy tekislikda L yopiq kontur bilan chegaralangan Ox o’q yo’nalishida ham, Oy o’q yo’nalishida ham to’g’ri bo’lgan D yopiq soha berilgan bo’lsin. Bu soha pastdan y=y1(x) egri chiziq bilan yuqoridan esa y= y2(x) egri chiziq bilan chegaralangan va ( ) bo’lsin (1.3.6-rasm).
Bu ikkala egri chiziq birgalikda L yopiq konturni tashkil etadi. D soha uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lgan X(x,y) va Y(x,y) uzluksiz funksiyalar berilgan bo’lsin.
Endi ushbu
integralni qarab chiqamiz. Uni ikki karrali integral shaklida tasvirlab quydagini hosil qilamiz:
integral son jihatdan tenglamasi parametric shaklda x=x, y= bo’lgan (x-parametr) MPN egri chiziqli integralga teng ekanligini ko’rsata miz. Shunday qilib,
Shunga o’xshash
integral son jihatdan MQN yoy bo’yicha olingan quydagi egri chiziqli integralga teng:
(1.4.2) va (1.4.3) ifodalarni (1.4.1) formulaga qo’ysak:
Biroq,
(1.1-paragrafdagi 1-xossaga qarang). Demak, (1.4.4) formulani bunday yozish mumkin:
Biroq, o’n tamondagi egri chiziqli integralning yig’indisi soat strelkasi bo’yicha yo’nalgan yopiq L egri chiziqning barcha uzunligi bo’yicha olingan egri chiziqli integralga teng. Demak so’ngi tenglikni ushbu shaklga keltirish mumkin:
Agar chegaraning biror qismi Oy o’qqa parallel bo’lgan kesmadan iborat bo’lsa,
va (1.4.5) tenglik bu holda ham o’z kuchida qoladi.
Xuddi shuningdek, quydagini topamiz:
(1.4.5) dan (1.4.6) ni ayirsak:
Buni inglis fizigi va matematigi D. Grinning (1793-1841) nomi bilan Grin formulasi deb ataladi.
Biz D sohani to’g’ri deb faraz etgan edik. Lekin bu formula yuzaga tegishli masaladagi kabi (1.2-paragrafga qarang) to’ri sohalarga bo’lish mumkin bo’lgan istalgan soha uchun ham o’rinli ekanligini ko’rsatish mumkin.
|
| |
