|
Ushbu jadval asosida Jordan almashtirishlari quyidagi tartibda bajarilib navbatdagi jadval to’ldiriladi:
1) Jordan almashtirishlari hal qiluvchi elementga nisbatan echiladi. Jadvalning yuqori o’ng burchagidagi element hal qiluvchi element sifatida tanlab olinadi. Hal qiluvchi element joylashgan satr va ustun mos ravishda hal qiluvchi
satr va hal qiluvchi ustun deyiladi;
2)
hal qiluvchi satrdagi son va hal qiluvchi ustundagi o’zgaruvchi o’rni
almashtiriladi;
4)
3) hal qiluvchi element o’rniga unga teskari sonni yozamiz;
hal qiluvchi ustun elementlarini hal qiluvchi elementga bo’lib, natijani shu elementlarga mos kataklarga yozamiz;
5) hal qiluvchi satr elementlarini hal qiluvchi elementga bo’lib, ishorasini o’zgartiramiz va natijani shu elementlarga mos kataklarga yozamiz; 6) qolgan
kataklar to’rtburchak qoidasi bo’yicha to’ldiriladi.
Masalan, (2.2) katakni to’ldirish uchun quyidagi hisoblash bajariladi:
a1 11 a22 − a21 a12
22 = a . a11
7) hal qiluvchi elementlar diagonal bo’yicha tanlanadi va bu jarayon navbatdagi tanlanishi kerak bo’lgan elementdan boshlab quyi o’ng burchakdagi barcha elementlar nol bo’lguncha davom ettiriladi. Aks holda jarayon hal qiluvchi
element sifatida diagonalning oхirgi elementi tanlanguncha davom ettiriladi. Agar diagonalda hal qiluvchi element sifatida olinishi kerak bo’lgan son, masalan
a pp =0 bo’lib, undan quyi va o’ng tomonda noldan farqli elementlar mavjud bo’lsa, bu sonlardan biri satr va ustunlar o’rnini almashtirish orqali ( p,p ) katakka olib kelinadi va u hal qiluvchi element sifatida tanlab olinadi. Agar hosoblash diagonal bo’ylab oхirgi ( m,n ) elementgacha olib borilsa, oхirgi jadval quyidagi
ko’rinishga keladi:
|
a1
|
a2
|
…
|
an
|
x =
1
|
b11
|
b12
|
…
|
b1n
|
x =
2
|
b21
|
b22
|
…
|
b2n
| |
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
x =
m
|
bm1
|
bm2
|
…
|
bmn
|
Yuqoridagi jadval asosida tenglamalar sistemasining echimini quyidagi
ko’rinishda yozamiz:
x1 = b11a1 +b12a2...+ b1nan x2 = b21a1 + b22a2...+
b2nan
..........................................
xn = bn1a1 +bn2a2...+bnnan
Agar hisoblash jarayonida jadvalning quyi o’ng to’rtburchak qismida barcha elementlar nol bo’lsa, oхirgi jadval quyidagi ko’rinishga keladi:
|
a1
|
a2
|
…
|
ak
|
xk+1
|
…
|
xn
|
x =
1
|
b11
|
b12
|
…
|
b1k
|
b1k+1
|
…
|
b1n
|
x =
2
|
b21
|
b22
|
…
|
b2k
|
b2k+1
|
…
|
b2n
| |
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
x =
k
|
bk1
|
bk2
|
…
|
bkk
|
bkk+1
|
…
|
bkn
|
a =
k+1
|
bk+11
|
bk+12
|
…
|
bk+1k
|
0
|
…
|
0
| |
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
a =
n
|
bn1
|
bn2
|
…
|
bnk
|
0
|
…
|
0
|
Ushbu jadvalda k +1, k +2, n - satrlar uchun quyidagi
ak+1 =bk+1,1a1 +
bk+1,2a2...+ bk+1,nan
ak+2 =bk+2,1a1 +
bk+2,2a2...+ bk+2,nan
................................................
an =bn1a1 + bn2a2...+ bnnan
tengliklar to’g’ri bo’lsa, tenglamalar sistemasi cheksiz ko’p echimga ega bo’ladi:
x1 =b11a1 + b12a2 + ...+ b1k ak + b1,k+1xk+1 + ...+ b1n xn x2 =b21a1 + b22a2 + ...+ b2k ak + b2,k+1xk+1
+ ...+ b2n xn
......................................................................
xk =bk1a1 + bk 2a2...bkkak + bk ,k+1xk+1 + ...+ bknxn
Yuqoridagilardan ko’rinadiki, x1, x2, ..., xk o’zgaruvchilar xk+1, ... ,xn o’zgaruvchilarning qiymatlariga bog’liq bo’ladi. xk+1, ... ,xn o’zgaruvchilar esa iхtiyoriy qiymatlarni qabul qiladi. Bu holda tenglamalar sistemasi cheksiz ko’p
echimga ega bo’ladi. Agar
ak+1 =bk+1,1a1 +
bk+1,2a2...+ bk+1,nan
ak+2 =bk+2,1a1 +
bk+2,2a2...+ bk+2,nan
.....................................................
an =bn1a1 + bn2a2...+ bnnan
tengliklardan birortasi bajarilmay qolsa, tenglamalar sistemasi echimga ega bo’lmaydi.
Misol: Quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Jordan usulida
eching:
2x1 + x2 +2x3 =4
x1 − x2 +2x3 =1 3x1 + x2 −2x3 =3
Echish: Yuqoridagi masala uchun dastlabki Jordan jadvalini tuzib olamiz:
Jordan navbatdagi jadvallar
keladi:
almashtirishlaridan keyin quyidagi ko’rinishga
Hal qiluvchi element sifatida a122 =−32 ni olib, unga nisbatan Jordan
almashtirishlarini bajarib, navbatdagi jadvalni to’ldiramiz:
|
4
|
1
|
x3
|
x1
|
1/3
|
1/3
|
-4/3
|
x2
|
1/3
|
-2/3
|
2/3
| |
3=
|
4/3
|
1/3
|
-16 3
|
2
Hal qiluvchi element sifatida a33 =−163 ni olib, unga nisbatan Jordan
almashtirishlarini bajarib, navbatdagi jadvalni to’ldiramiz:
|
4
|
1
|
3
|
x1
|
0
|
1/4
|
1/4
|
x2
|
1/2
|
-5/8
|
-1/8
|
x3
|
1/4
|
1/16
|
-3/16
|
Oхirgi jadvaldan tenglamalarning ildizlarini topamiz:
x1 = 4 0 +1 1/ 4 + 3 1/ 4 =1/ 4 + 3/ 4 =1 x2 =
4 1/ 2 −1 5/ 8 − 3 1/ 8 = 2 − 5/ 8 − 3/ 8 =1
x3 = 4 1/ 4 +1 1/16 − 3 3/16 =1−8/16 =1/ 2
Topilgan ildizlarni sistemaga qo’yib, echimning to’g’riligini tekshirib ko’rish mumkin.
Ketma-ket yaqinlashish usuli
Soddalik uchun ketma-ket yaqinlashish usuli algoritmini quyidagi uch
noma’lumli CHATSda ko’rib chiqamiz:
a11x1 +a12x2 +a13x3 =b1,
a21x1 +a22x2 +a23x3 =b2,
(5.4.2)
a31x1 +a32x2 +a33x3 =b3
Bu sistemani matritsa ko’rinishida ifodalaymiz:
yoki
a11
bu erda A =
a21 a31
b1
x2
a31a32a33
a11a12a13
x1 a21 a22 a23
= b2 ,
x3 b3
Ax=B,
a12 a13
x1
b1 a22a23
, x= x2 , B = b2 . a32
a33
x3
b3
(6.4.2) sistemani unga teng kuchli sistema bilan almashtiramiz
x1 =x1 − (a11x1 +a12x2 +a13x3) +b1,
(5.4.3)
x2 =x2 − (a21x1 +a22x2 +a23x3) +b2,
x3 =x3 − (a31x1 +a32x2 +a33x3) +b3
yoki x = (E-A)x + B.
(5.4.3) sistemani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:
x1
x2
=
x2
+
,
x3
1− a11 − a12− a13
− a21 1− a22− a23
a31− a32 1− a33
x1 b1 b2
x3 b3
va iteratsiya jarayonini quramiz:
x1(k) 1− a11
xx23((kk))
aa3121
yoki
− a12
1− a22
− a32
− a13
a23
x1(k−1) b1
−
xx32((kk−−11))
bb23
(5.4.4)
1− a33
x(k) =(E − A)x(k−1) + B .
Bu usulda, iteratsiya jarayonining yaqinlashishi uchun etarli shart quyidagicha
ifodalanadi:
n n
aij
aij
max 1−ajj +
1. j i=1,i j
1 yoki maxi 1−aii +
j=1, j i
Agar CHATSda tenglamalar soni n ta bo’lsa, ketma-ket yaqinlashish usulining
umumiy formulasi
n
xi(k) = xi(k −1) − aijx j(k −1) + bi
j=1
yoki
n
xi(k) =(1−aii )xi (k−1) − aij x j(k−1) +bi
j=1,j i
Misol. Quyidagi
ko’rinishga ega bo’ladi.
1,1x1 −0,2x2 +0,3x3 =1,
0,1x1 +0,9x2 +0,2x3 = 3,
0,2x1 −0,1x2 +1,2x3 = 2
CHATSni ketma-ket yaqinlashish usuli yordamida eching. Bu sistemani matritsa
ko’rinishida:
1.1 −0.20.3 x1 1
0.1
0.2
0.90.2
−0.11.2
x2 = 3
x3 2
yozib olamiz.
(6.4.4) formulaga asosan iteraцion jarayonni quyidagicha yozishimiz mumkin:
x1(k)
0.1
xx23((kk))
00..21
− 0.3
0.2 x1((kk−−11))
0.1
0.1
13
2
− 0.2 x
− 0.2
3
x (k−1)
2
.
(5.4.5)
Dastlabki yaqinlashish sifatida nolь vektorni olamiz va (6.5) formula yordamida birinchi yaqinlashishni aniqlaymiz:
(1)
YAna bir jarayonini
x1(2)
0.1
(2)
x2
0.1
x3(2)
0.2
Ikkita ketma-ket yaqinlashish bir-biridan etarlicha kam farq qilguncha iterцiya
jarayonini davom ettiramiz. Hosil qilingan
−0.2 −0.3 1 1
0.1
0.1
0.9
−0.2
3
−0.2
3
2.8 .
2
2
1.7
0
0
3
1 0.9 0.96
2.8 2.85
0 2
1.7 1.76
vektorlar ketma-ketligi sistemaning aniq echimiga intiladi.
Umumiy holda iteratsiya jarayoni x(k) − x(k−1) shart bajarilganda tugallanadi. Bu erda berilgan aniqlik.
Oddiy iteratsiya usuli
CHATSda noma’lumlar soni ko’p bo’lganda, Kramer, Gauss, teskari matritsa usullarining aniq echimlar beruvchi chiziqli sхema juda murakkab bo’lib qoladi. Bunday hollarda sistema ildizlarini topish uchun taqribiy sonli echish usullaridan
00..21
2
x (1)
0.1
− 0.2
0
x1
|
0.1
|
0.2 − 0.3
|
0
|
1
| |
1
|
x2(1)
| |
0.1 − 0.2
|
0
| |
3
| |
3 .
2
2 marta iteratsiya bajaramiz:
foydalanish qulay bo’ladi. SHunday usullardan biri oddiy iteratsiya usulidir. Bu usulni (6.1) sistemasi uchun ko’rib o’tamiz. Buning uchun bu sistemani
n
aij x j =bi , i =1,2,...,n
(5.4.6)
j=1
ko’rinishda yozib olamiz.
Bu sistemani matritsa ko’rinishida quyidagicha yozish mumkin:
АX =B ,
bu erda
a11
a12 ..
a1nb1x1
a21 a22 ...
X =. ... ... ...
annbn xn
a2nb2 x2 A =; B
=;
...... ... an1 an2 ...
(6.4.6) da aii 0 (i =1,2,.....n ) deb faraz qilamiz. (5.4.6) dagi birinchi
tenglamani x1 ga nisbatan, ikkinchi tenglamani x2 ga nisbatan va nihoyat oхirgisini
xn ga nisbatan echib, quyidagi sistemaga ega bo’lamiz:
x1 = 1 +0+ 12x2 + 13x3 + ...+ 1nxn
x2 = 2 + 21x1 +0+ 23x3 + ...+ 2nxn
.............................................................
(5.4.7)
nn−1xn−1 +0
xn = n + n1x1 + n2x2 + n3x3 + ...+ (6.4.7) ni ushbu
0 α12 ... α1nβ1 x1 α21 0 ...
α2nβ2 x2
α= , β= , X =
...
αn1
... ... ...... ...
an2... 0βn xn
matritsalar yordamida quyidagicha yozishimiz mumkin
X = + X
(5.4.8) (6.4.8) sistemani ketma-ket yaqinlashishlar usuli bilan echamiz:
Х(0)= , X (1) = + X (0) , X (2) = + X (1) ,....
Ushbu jarayonni umumiy holda quyidagicha yozish mumkin:
X (k) = X (k−1) , Х (0)=
+ , k=1,2,3, … (5.4.9)
Agar bu
X ( k )
ketma-ketlikning k→ dagi limiti mavjud bo’lsa, bu limit
(6.4.1) sistemaning echimi bo’ladi.
Quyidagi
x1(k)
x(k)
X (k) =
2
...
xn(k)
belgilashni kiritamiz.
Agar iхtiyoriy >0 uchun xi(k+1) − xi(k) tengsizlik barcha i =1,2,...,n lar uchun bajarilsa, X (k+1) = (x1(k+1) ,x2(k+1) ,...,xn(k+1) ) vektor (1.7.1) sistemaning
aniqlikdagi echimi deb ataladi.
nn
|
