Misol.
Iteratsiya usuli bilan 5x
3
-20x+3=0
tenglamani [0,1] intervalda 10
-4
aniqlikda toping.
Tenglamani F(x)=0 ko’rinishdan
𝑥 = 𝜓(𝑥) tenglamaga bir necha xil ko’rinishga
o’tkazib olamiz.
1)
𝑥 = 𝑥 + (5𝑥
3
− 20𝑥 + 3) bunda 𝜓
1
(𝑥) = 5𝑥
3
− 19𝑥 + 3
2)
𝑥 = √
20𝑥−3
5
3
bunda,
𝜓
2
(𝑥) = √
20𝑥−3
5
3
3)
𝑥 =
5𝑥
3
+3
20
bunda,
𝜓
3
(𝑥)=
5𝑥
3
+3
20
𝜓(𝑥) funksiyalarning qaysi biri yaqinlashuvchi ekanligini aniqlab olamiz.
Buning
uchun,
|ψ
′
(x)| < 1
shartni bajaruvchi ekanligini tekshiramiz.
[0,1] intervaldan olingan x
0
nuqtani olingan hosilaga qo’yamiz. Masalan, x
0
=0.5;
𝜓
1
′
(𝑥) = 15𝑥
2
− 19
𝜓
2
′
(𝑥) =
4
3
(
20𝑥 − 3
5
)
−
2
3
;
𝜓
3
′
(𝑥) =
3
4
𝑥
2
Iteratsion jarayon yaqinlashuvchanligini tekshiramiz
{
|𝜓
1
′
(𝑥
0
)| > 1
|𝜓
2
′
(𝑥
0
)| > 1
– uzoqlashuvchi iteratsion jarayon
|𝜓
3
′
(𝑥
0
)| < 1 – yaqinlashuvchi iteratsion jarayon
Bundan ko’rishimiz mumkinki, faqat 𝜓
3
(𝑥) funksiya yaqinlashuvchi ekan.
1) 𝑥
1
=
5𝑥
0
3
+3
20
ni hisoblaymiz va |
𝑥
1
− 𝑥
0
| < 𝜀 shartni tekshiramiz. 𝜀 = 0.0001.
2) 𝑥
2
=
5𝑥
1
3
+3
20
|
𝑥
2
− 𝑥
1
| < 𝜀
Bu jarayonni |
𝑥
1
− 𝑥
0
| < 𝜀 shart bajarilguncha davom ettiramiz.
4.
Vatarlar usuli
Vatarlar usuli [a, b] kesmaga to’g’ri keluvchi
f(x) egri chiziq yoyini
tutashtiruvchi vatar OX o’qini shu kesma ichida kesib o’tishiga asoslangan.
Vatarning OX o’qi bilan kesishgan nuqtasi ildizga yaqinroq (1-rasmda
x
1
va ga mos
nuqtalar). Agar ildiz yotgan kesma sifatida [a, x
1
] yoki [x
1
, b] olinsa, avvalgi [a, b]
kesmaga nisbatan kichikroq kesma hosil bo’ladi. Yangi kesmada mos
f(x) yoyiga
yana vatar o’tkazib, ilgarigidan ko’ra torroq oraliqni aniqlash mumkin va hokazo. Bu
jarayonni davom ettirib, ildiz yotgan oraliqni istalgancha kichraytirish mumkin
bo’ladi.
Tenglamaning [a, b] ajratilgan ildizini aniqlikda
hisoblash uchun x
0
boshlang’ich
yaqinlashish tanlab olinadi. Bu 1-rasmda ko’rsatilgandek
f(x) funksiyaning birinchi
va ikkinchi tartibli hosilalarning ishoralariga bog’liq. Agar
y'<0 ba
y''<0 (1 a-rasm)
yoki
y'>0 va
y''<0 (1 d-rasm) bo’lsa
x
0
=b, qolgan hollarda
x
0
=a qilib olish kerak (1-b
va 1-c rasmlar).
a)
b)
c)
d)
Ikkinchi,
x
0
=b bo’lgan holda
x=a qo’zg’almas nuqta bo’ladi. Keyingi yaqinlashishlar
𝑥
𝑛+1
= 𝑥
𝑛
−
𝑓(𝑎)(𝑥
𝑛
−𝑎)
𝑓(𝑥
𝑛
)−𝑓(𝑎)
(4)
formula bilan hisoblanadi.
Yaqinlashish jarayoni |
x
n
-x
n-1
|≤ shart bajarilguncha davom etadi.
Bunda
𝑥
0
=b
