3. Tenglamalarni yechishning iteratsiya usuli
Berilgan
f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x=𝜓(x) ko‘rinishdagi
tenglamaga keltiramiz.
2-teorema. Aytaylik,
1) 𝜓
(x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va differensiallanuvchi bo‘lsin;
2) 𝜓
(x) funksiyaning hamma qiymatlari [a,b] oraliqqa tushsin;
3)[a,b] oraliqda
𝜓
(x)
q <1 tengsizlik bajarilsin.
Bu holda [a,b] oraliqda x= 𝜓
(x) tenglamaning yagona x=t yechimi
mavjud va bu yechim
t
n
= 𝜓
(t
n-1
).
b
a
t
;
0
formulalar bilan aniqlanadi
Berilgan
f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= 𝜓 (x)
tenglama uchun
yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini
quyidagi shakillar misolida
ko‘rish mumkin.
Bu yerda a va b rasmlar yaqinlashuvchi, c rasm uzoqlashuvchi va t
0
qiymat [a,b]
oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son bo‘lib, yechimning 0-yaqinlashishi, t
i
– n
i
yechimning
i – yaqinlashishi deb yuritiladi.
Bu teorema asosida tenglama ildizini quyidagicha aniqlaymiz.
1)
f(x)=0 tenglamaning yagona ildizi yotgan [
a,b] kesmani biror (masalan,
grafik) usul bilan aniqlaymiz.
2) [
a,
b] da
f(x) ning uzluksizligi va
f(
a)
.
f(
b)<0 shart bajarilishini tekshiramiz.
3)Tenglamani
)
(
x
x
=
ko‘rinishga keltirib, 𝜓 (x)
[
a,b] ekanligini hamda [
a;b]
da
)
(
'
x
mavjudligini tekshiramiz va
)
(
'
;
max
x
b
a
x
q
=
ni topamiz.
4) Agar q<1 bo‘lsa,
)
(
1
−
=
n
n
x
x
ketma-ketlikning boshlang‘ich yaqinlashishi x
0
uchun [
a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz.
5) Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni
x
n
-
x
n-1
