| sonli funksiyasideb ataladi. yo‘zgaruvchining x o‘zgaruvchiga bog‘liq ekanligini ta’kidlash maqsadida uni erksiz o‘zgaruvchi yoki funksiya, xo‘zgaruvchini esa erkli o‘zgaruvchi yoki argument deb ataymiz. y o‘zgaruvchi xo‘zgaruvchining funksiyasi ekanligi y = f (x)ko‘rinishda belgilanadi.
Argument xning Xto‘plamdan qabul qila oladigan barcha qiymatlar to‘plami ffunksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi va D(f )orqali belgilanadi. {f(x) | x∈D(f )}to‘plam f funksiyaning qiymatlar sohasi (to‘plami) deb ataladi va E (f )orqali belgilanadi. Ixtiyoriy x∈D(f )qiymatda funksiya faqat y = b(o‘zgarmas miqdor – constanta), b∈Rqiymatga ega bo‘lsa, unga Xto‘plamda berilgan doimiy funksiya deyiladi. Masalan, koordinatalar sistemasida Ox o‘qqa parallel to‘g‘ri chiziqni ifodalovchi y = 3 funksiya D(f ) = {x | ∞ da doimiydir.
1-misol:Agar y = x2funksiya R to‘plamda berilgan bo‘lsa, u holda D(f ) = Rva E(f ) = R+∪ {0}bo‘ladi.
2-misol: y = x2funksiya D(f ) = [-3; 4] da berilgan bo‘lsin. Bu funksiyaning qiymatlar sohasi E(f ) = [0; 16] dan iborat.
π(x)funksiyasi xning musbat qiymatlarida aniqlangan bo‘lib, xdan katta bo‘lmagan tub sonlarning sonini ifodalaydi. π(x)ning qiymati tub sonlar jadvalidan foydalanib, bevosita hisoblash yo‘li bilan aniqlanadi.
π(2)=1 π(6)=3 π(10)=4π(14)=6
π(3)=2 π(7)=4 π(11)=5 π(15)=6
π(4)=2 π(8)=4 π(12)=5 π(16)=6
π(5)=3 π(9)=4 π(13)=6 π(17)=7 …
x dan ortiq bo’lmagan tub sonlar sonini π(x) orqali belgilaylik. XIX asr matematiklari π(x)funksiyaning hech bo’lmaganda taqribiy analitik ko’rinishini topish uchun juda katta ish qilishgan. Ular agar π(x)ning aniq qiymatini topish mumkin bo’lmasa, u holda unga x ning barcha qiymatlariga juda yaqin bo’lgan f(x)funksiyani topish masalasini hal qilishga urinishgan. Buning uchun f(x)funksiyani shunday tanlash lozim ediki, π(x) vaf(x)larning nisbati, ya’ni nisbat x ning yetarlicha katta qiymatlarida 1 ga intilish talab talab qilingan, ya’ni
(1)
o’rinli bo’lishi lozim edi. (1) tenglikni qanoatlantiruvchi funksiyalar odatda asimptotik ekvivalent funksiyalar deb yuritiladi va u qisqacha π(x)~f(x)ko’rinishda belgilanadi.
Limitning ta’rifiga asosan (1) ni kabi yozish mumkin. Bu yerda R(x)funksiya da f(x)ga nisbatan cheksiz kichik miqdordir, ya’ni
(2)
1808-yilda fransuz matematiki Andriyen Mari Lejandr tub sonlar jadvalini tekshirib, π(x) ning taqribiy imperik formulkasini topdi. Uning fikricha x ning yetarlicha katta qiymatlarida π(x)funksiya taqriban ga teng ekan, bu yerda o’zgarmas son. Shu davrning o’zida nemis matematigi Gauss π(x)uchun funksiyani olish mumkin deb aytdi. Bu integralli elementar funksiyalar orqali ifodalab bo’lmaydi. Shuning uchun integralli logarifm deb ataluvchi quyidagi integral bilan almashtiriladi.
Li (3)
va Lixning farqi Li 2=1.04. Lopital qoidasidan foydalanib quyidagilarga ega bo’lamiz:
: : . (4)
Demak, Lejandr va Gausslarning π(x) uchun topgan funksiyalari bir xil
(5)
kabi asimptotik bahoga ega. Boshqacha qilib aytganda
. (6)
bu formulalar tub sonlarning asimptotik qonuni deb ataluvchi qonun bo’yicha taqsimotini ko’rsatadi. Lekin Lejandr va Gausslar bu qonunning haqiqatan o’rinli ekanini nazariy tomonidan asoslab bera olmadilar. Bundan tashqari P.L.Cheybishev “Tub sonlar haqida “ asarida π(x) va boshqa sonli funksiyalarning xosslarining tekshirish uchun kuchli elementar metodlarni ko’rsatib berdi. U xning yetarlicha katta qiymatlarida π(x) ni baxolash uchun quyidagi tengsizliklar o’rinli ekanini isbot qildi:
0,92129
yoki
0,92129
Adabiyotlarda bu tengsizliklar
| 