| Chebishev tengsizligideb yuritiladi. Yuqoridagi tengsizliklarning isbotini keltirib o’tmasdan, uning geometrik talqini haqida bayon keltiramiz.
Bu tengsizliklarga asosan, xyetarlicha katta qiymatni qabul qilsa, funksiyaning grafigini y1=0.92129 va y2=1.10555 parallel to’g’ri chiziqlar orasida yotadi.
P.L Chebishevning tub sonlar taqsimoti to’g’risidagi ishlari uning zamondoshlariga katta ta’sir qildi. P.LChebishevning qo’lga kiritgan muvaffaqiyatlari haqida so’zlab ingliz matematigi Silvester (1814 -1894) 1881-yilda quyidagi fikrni bildirgan edi:”Sonlar nazariyasi soxasida yanada yangi yutuqlarga erishish uchun , aql-zakovati bo’yicha Chebishev oddiy odamlardan qanday yuqori turgan bo’lsa, Chebishevdan darajada yuqori turadigan odam tug’ilishini kutish mumkin”. Buyuk nemis matematigi Landay (1877-1938) o’zining tub sonlar taqsimotiga bag’ishlangan bir asarida Chebishev to’g’risida shunday deb yozadi:”Yevikliddan so’ng “ Tub sonlar masalalari”ni xal etish uchun to’g’ri yo’l tanlangan va muhim muvaffaqiyatlarni qo’lga kiritgan olim bu Chebishevdir”.
P.L Chebishevning yutuqlari tub sonlar taqsimotining asimptotik qonunini isbotlash uchun , ya’ni ning mavjudligini ko’rsatish uchun yetarli emas edi. Lekin u shu masalani xal qilishga uringan:agar limit mavjud bo’lsa , u 1ga teng bo’lishini isbot qildi. Nemis matematigi Riman 1859 yilda bu masalani xal etishda kompleks argumentli funksiyadan foydalanish mumkinligini aytdi. Riman o’zining bir qancha asarida funksiyaning ajoyib xossalarini ko’rsatib bergan bo’lsa-da , u o’zining bu metodi bo’yicha tub sonlarning metodi bo’yicha tub sonlarning taqsimotiga oid birorta ham arifmetik natijani qo’lga kiritmagan. 1869-yilda fransuz matematigi J. A. Adamar va belgiyalik matematik Valle-Pussenlar bir-biriga bog’liq bo’lmagan holda ning limiti mavjudligini ko’rsatishdi. Ular o’z ishlarini Riman metodidan foydalanishib, shunday natijaga erishdilar.
Tub sonlar jadvali:
…dan
|
…gacha
|
tub sonlar soni
|
1
101
201
301
401
501
601
701
801
901
1001
2001
3001
4001
5001
6001
7001
8001
9001
|
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
|
26
21
16
16
17
14
16
14
15
14
168
127
120
119
114
117
107
110
112
|
3-misol:
4-misol:
5-misol:
6-misol:
formula asosida misollar ko’raylik, bunda
shartlar o’rinli.
7-misol:ni quyidagi formula orqali tekshiring.
8-misol:
2.2. Butun qism va kasr qism funksiyalar.
Endi biz yuqorida aytib o’tilgan bilimlarimizga asoslangan holda sonli funksiyaning yana bir turi bo’lgan butun qism va kasr qism funksiyalarni ham o’rganib chiqamiz. Bunda eng avvalo biz sonning butun qismini bilishimiz kerak. Sonning butun qismi qay holda bo’ladi, uning berilish usullari qanday? Shu savollarga quyidagi paragrifda ko’rib o’tamiz.
1. Sonning butun qismi
x sonning butun qismi, ya’ni [x] qo’sh tengsizlik bilan yoki yoki tenglik bilan aniqlanadi va ant’ye funksiyadeyiladi.
Agar x1va x2sonlardan birortasi butun bo’lsa,
(9)
o’rinli bo’ladi.
o’rinli bo’ladi.
Ko’paytmaning kanonik yoyilmasiga ptub son
(10)
darajada keladi, bun yerda Sson tengsizlikdan aniqlanadi.
9-misol:sonning butun qismini toping.
Yechish: vaxkasr son uchun formula o’rinli. Bu formulani qo’llab
ni hosil qilamiz.
10-misol: tengligini isbotlang.
Yechish: bo’lib bu yerda Demak,
bo’lganligi sababli [ 0 yoki 1 ga teng bo’ladi.
n dan katta bo’lmagan va tub sonlar bilan o’zaro tub bo’lgan sonlar sonini quyidagi formula bilan hisoblash mumkin:
11-misol: 180 dan katta bo’lmagan va 5, 7, 11 larga bo’linmaydigan sonlar sonini toping.
Yechish: n=180 va lar uchun
12-misol:400 dan katta bo’lmagan 3, 5, 7 ga bo’linadigan sonlar nechta?
n=400 va lar uchun
13-misol:718 dan katta bo’lmagan 5, 6, 9 ga bo’linadigan sonlar nechta?
n=718 va lar uchun
14-misol:1644 dan katta bo’lmagan 11, 14, 19 ga bo’linadigan sonlar nechta?
n=1644 va lar uchun
15-misol:son nechta 0 bilan tugaydi.
Yechish:misol yechimi ning kanonik yoyilmasiga 5 nechanchi daraja bilan kirishini aniqlash masalasiga keltiriladi:
Demak, son 499 ta 0 bilan tugaydi.
16-misol: ning kanonik yoyilmasiga ptub son nechanchi darajada kirishini aniqlang.
Yechish:bo’lganligi sababli p=2ga teng bo’lsa,
p bo’lsa,
ga teng bo’lsa.
Sonning butun qismi haqida kerakli ma’lumotlarga ega bo’ldik, endi esa haqiqiy sonning kasr qismi haqida ma’lumotga ega bo’lamiz. Demak, kasr qismni topishni o’rganamiz. Haqiqiy sonning kasr qismini topish uchun sondan uning butun qismini ayirish kifoya.
Haqiqiy xsonning kasr qismi {x} quyidagi formula bilan aniqlanadi.
(11)
Bunda: x-berilgan son;
berilgan sonning butun qismi;
-berilgan sonning kasr qismi.
Endi esa bunga oid misollar ko’ramiz:
17-misol: {-4.35} ni toping.
Yechish:{-4.35}=-4.35-(-5)=0.65
Butun qism topamiz:
-2,7=[-3];
2+
;
;
−
II-BOB. Multiplikativ funksiyalar.2.1-§. Myobius funksiyasi va uning qo’llanilishi.
Biz I-BOBda sonli funksiya turlari va ularning berilish usullari haqida ma’lumotga ega bo’ldik. Endi bu yangi BOB da biz multiplikativ funksiyalar haqida ma’lumotlarga ega bo’lamiz. Multiplikativ funksiya turlari va ularning qo’llanilish usullari haqida ham ko’rib o’tamiz. Undan so’ng, Myobius va Eyler funksiyalari haqida ham ma’lumotlar berib o’tamiz. Eng avval biz multiplikativ funksiya nima ekanligini bilib olishimiz kerak.
Ta’rif:Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaga multiplikativ funksiya deyiladi.
funksiya barcha musbat butun lar uchun aniqlanib, ko’pi bilan qiymati 0 ga teng va qolgan barcha qiymatlari 0 dan farqli.
Ixtiyoriy o’zaro tub m va n musbat sonlar uchun quyidagilar o’rinli.
(12)
Multiplikativ funksiyalar uchun quyidagi xossalar o’rinli:
1) Ixtiyoriy multiplikativ funksiya uchun o’rinli.
2) va lar multiplikativ funksiya bo’lsa, u holda ularning ko’paytmasi ham multiplikativ funksiya bo’ladi.
(13)
Multiplikativ funksiya xossalaridan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
sonning natural bo’luvchilar soni quyidagiga teng.
(14)
sonning natural bo’luvchilar yig’indisi quyidagiga teng.
(15)
Myobius funksiyasi:
Barchani qiziqtiradigan bir savolga oydinlik kiritib o’tamiz. Myobius funksiya deb atalishining sababi, bu funksiya Myobius tomonidan yaratilgan. Bunda u tub sonlar nazariyasi haqida o’zining oltinga teng asarlarida to’laligicha kiritib o’tgan. Hozirda ham bu funksiya algebra va sonlar nazariyasi uchun kerakli bo’lgan funksiya sifatida qaraladi. Demak Myobius deb atalishining sababi funksiya Myobius tomonidan yaratilganligidadir.
Barcha natural sonlar uchun aniqlangan
(16)
ko’rinishdagi funksiyaga
| 