| Myobius funksiyasideyiladi.
Bu funksiya multiplikativdir, ya’ni agar bo’lsa,
(17)
Agar -ixtiyoriy multiplikativ funksiya bo’lsa, u holda (18) Agar bu formulada deb olsak quyidagicha formulalarni hosil qilamiz:
(19)
(20)
Agar butun a lar uchun -funksiya bir qiymatli bo’lib,
o’rinli bo’lsa, u holda
(21)
tenglik o’rinlidir (Myobiusning teskarilash formulasi).
18-misol:ni hisoblang.
Yechish:2002=2 dan kelib chiqadi.
19-misol:uchun to’g’riligini isbotlaymiz.
Yechish:18 ning bo’liuvchilari: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Bundan
20-misol:formula to’g’riligini uchun tekshiramiz.
Yechish:12 ning bo’luvchilari: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bundan
21-misol:uchun to’g’riligini isbotlaymiz.
Yechish: 27 ning bo’luvchilari: 1, 3, 9, 27.
22-misol:formula to’g’riligini uchun tekshiramiz.
Yechish: 100 ning bo’luvchilari: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.
23-misol:formula to’g’riligini uchun tekshiramiz.
Yechish: 150 ning bo’luvchilari: 1, 2, 3, 5, 10, 15, 25, 50, 75, 150.
2.2-§Eyler funksiyasi va uning qo’llanilishi.Eyler funksiyasi: ushbu funksiya nomi Eyler sharafiga qo’yilgan. Negaki bu funksiya Eyler tomonidan kashf etilgan. Bu funksiya ham Myobius funksiyasi kabi algebra va sonlar nazariyasi uchun kerakli bo’lgan funksiyalardan biri hisoblanadi. Demak, biz Eyler funksiyasi haqida ma’lumotlarga ushbu paragrifda ega bo’lamiz.
Teorema:Eyler funksiyasi multiplikativ funksiyadir.
Isboti:ni isbotlash uchun 1 dan gacha bo’lgan sonlarni quyidagi jadval shaklida yozib olamiz:
1 2 … k … m
(22)
………………………………………………
ni hisoblash uchun (22) jadvalda bilan nechta o’zaro tub son borligini aniqlashimiz kerak.
Biror son bilan o’zaro tub bo’lishi uchun u shu sonlarning har biri bilan o’zaro tub bo’lishi lozim. Shuning uchun (22) dan avvalo m bilan o’zaro tub bo’lgan sonlarni ajratib olamiz. Ajratilgan sonlar orasidan esa n bilan o’zaro tublarini tanlab olamiz. Jadvalning tuzilishiga asosan, har bir ustun elementlari mmodulga nisbatan teng qoldiqlar sinfidan iborat. Shuning uchun har bir ustunning barcha elementlari mmodul bilan har xil eng katta umumiy bo’lkuvchiga ega, bu elementlardan bittasi m bilan o’zaro tub bo’lsa, shu ustunning barcha elementlari ham m bilan o’zaro tub bo’ladi. Demak, m modul bilan “o’zaro tub ustunlar” to’g’risida gapirish mumkin. mbilan “o’zaro tub ustunlar” sonining ga tengligi o’z-o’zidan ko’rinib turibdi. Endi jadvalning ixtiyoriy biror ustunini olamiz. Misol uchun
(23)
ni qaraylik. Bu ustun elementlarini xo’zgaruvchi 0, 1, 2, …, (n-1) qiymatlarni qabul qilgandagi mx+kchiziqli formulaning qiymatlari deb qarash mumkin. bo’lgani uchun (23) ketma-ketlik k ga bog’liq bo’lmagan holda n modul bo’yicha chegirmalarning to’la sistemasini tashkil qiladi. Demak, (23) dagi nbilan o’zaro tub sonlar dir. Shunday qilib, (22) da mhamda nlar bilan o’zaro tub sonlar soni ta ekan. n hamda m bilan o’zaro tub son bilan ham o’zaro tub bo’ladi. Demak,
Bu xossani chekli sondagi o’zaro tub sonlar ko’paytmasi uchun ham umumiylashtirish mumkin.
Eyler funksiyasining hisoblash formulalari quyidagilardan iborat.
m=p tub sonbo’lsin. u holda bo’lsa, . Bunday sonlar 1, 2, 3, …, bo’lgani uchun bo’ladi.
24-misol: bo’lsin, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sonlarning har biri 7 bilan o’zaro tubdir. Shuning uchun bo’ladi.
bo’lsin. ni hisoblash uchun 1 dan gacha sonlarni quyidagicha yozib olamiz:
(24)
Bu qatordagi p sonlarning barchasi pga bo’lingani uchun
pbilan o’zaro tub emas. p ga bo’linadigan sonlar soni tadir. (24) qatorda ta son bor.
Demak, (24) da pbilan o’zaro tub sonlar soni
ya’ni
ta ekan.
bo’lsin. Eyler funksiyasi multiplikativ funksiya bo’lgani uchun
tenglikni yozish mumkin. Har bir ko’paytuvchi uchun b) ni qo’llab,
yoki
25-misol:ni toping.
360= U holda = =96, ya’ni
26-misol:ni hisoblaymiz.
Yechish: 1857=3 bo’lsa. U holda
27-misol:ning o’zaro tub ko’paytuvchilarini topamiz.
Yechish: . Bundan
Endi berilgan sonning barcha bo’luvchilari bo’yicha tuzilgan Eyler funksiyalari qiymatlarining yig’indisini ko’rib chiqamiz.
Faraz qilamiz,m soni dta bo’luvchiga ega bo’lsin. Bu bo’luvchilar bo’yicha tuzilgan Eyler funksiyalari qiymatlar yig’indisini kabi belgilasak, ning m ga tengligini ko’rsatamiz. Biz,
(25)
bo’lsin deylik. Bunda lar mning turli tub bo’luvchilari bo’ladi. m ning hamma bo’luvchilari ko’rinishdagi sonlar hisoblanadi. Bunda
(26)
bo’lganda m ning bo’luvchilari 1, lardan iborat. Demak, bundagi Eyler funksiyalari qiymatlari yig’indisi
bo’ladi.
bo’lgani uchun
bo’ladi. Lekin
Demak,
ya’ni
Teorema.(Eyler teoremasi).O’zaro tub bo’lgan va ( 1) sonlari uchun quyidagi munosabat o’rinli:
(27)
Isbot.Aytaylik, bo’lsin. dan kichik va bilan o’zaro tub bo’lgan turli sonlari uchun sonlarni qaraymiz. U holda
bu yerda lar o’zaro teng bo’lmagan sonlar.
Haqiqatdan, bo’lsa u holda
ekanligidan
kelib chiqadi. (a,m)=1 bo’lganligi uchun ya’ni .
Bu esa sonlarining turli ekanligiga zid.
Shuningdek, sonlarning barchasi m bilan o’zaro tub ekanligini ko’rish qiyin emas. Bundan esa tenglik kelib chiqadi.
taqqoslamalarni hadma-had ko’paytirsak,
munosabatga ega bo’lamiz. Demak,
Agar Eyler teoremasida m soni o’rniga biror p tub son olinsa, u holda (2) tenglik quyidagi ko’rinishga keladi:
Ushbu tenglikni ikkala tomonini a ga ko’paytirsak,
tenglikga ega bo’lamiz. Bu tenglik Fermaning kichik teoremasi deyiladi.
3-§. Berilgan sonning bo’luvchilar soni va bo’luvchilar yig’indisini topish funksiyalari.
Ixtiyoriy natural a son uchun va funksiyalar mos ravishda a sonning natural bo’luvchilari soni va ularni yig’indisini ifodalaydi. Bu funksiyalar uchun quyidagi formulalar o’rinli:
bu yerda sonning kanonik yoyilmasi.
Bu funksiyalar multiplikativ, ya;ni agar lar uchun
va
o’rinli.
28-misol:2002 sonni bo’luvchilar soni va ularning yig’indisini toping.
Yechish: bundan
29-misol:4004 sonni bo’luvchilar soni va ularning yig’indisini toping.
Yechish: bundan
30-misol:2002 sonni barcha bo’luvchilarini toping.
Yechish: -kanonik yoyilmasidan foydalanamiz.
(1+2)(1+7)(1+11)(1+13)=1+2+7+11+13+14+22+26+77+91+143+154+
+182+286+1001+2001-2002 ning barcha bo’luvchilari yig’indisi va demak har bir qo’shiluvchi izlanayotgan bo’linmalarni beradi.
31-misol:Natural a sonning barcha natural bo’luvchilarining ko’paytmasi funksiyasi bo’lsa,
tenglik to’g’riligini isbotlang.
Yechish: sonning barcha natural bo’luvchilari bo’lsin. U holda
sonlar ning bo’luvchilaridir, bundan
uchun hosil bo’lgan tenglikni ko’paytirib, ni hosil qilamiz. Bundan
32-misol:2002 sonining barcha natural bo’luvchilari ko’paytmasini toping.
Yechish:
33-misol:Barcha natural bo’luvchilari ko’paytmasi 5832 ga teng bo’lgan natural sonni toping.
Yechish: bundan va
34-misol:3 va 4 ga bo’linadigan va 14 ta bo’luvchiga ega bo’lgan sonni toping.
Yechish: Misol shartiga ko’ra, .
Demak, Ya’ni , bu yerda Demak,
XULOSA
Ushbu kurs ishini yozish mobaynida I-BOB. Sonli funksiyalar haqida va uning paragriflari π(x)- funksiya va funksiyaning tub sonlar taqsimotiga tatbiqi va Butun qism va kasr qism funksiyalar haqida ma’lumotlarga ega bo’ldim. Bunda ularning qo’llanilish usullari ham keng ma’noda yoritib berildi. Shu bilan birga II-BOB Multiplikativ funksiyalar va uning paragriflari Myobius funksiyasi va uning qo’llanilishi va Eyler funksiyasi va uning qo’llanilishi, berilgan sonning bo’luvchilar soni va bo’luvchilar yig’indisini topish funksiyalari haqida ma’lumotlarga ega bo’dim. Men bu ma’lumotlarga tayangan holda shuni ayta olamanki, sonli funksiyalar butun sonlar uchungina o’rinli. Shundagina biz ularni sonli funksiya deb ayta olishimiz mumkin.
Sonli funksiyalar bilan bog’liq masalalarni hal etishda sonli funksiyalarning turini aniqlab olish muhim ahamiyatga egadir, shuningdek sonli funksiyalarning turi bilan bir qatorda uning qaysi holatda qaysi formulasidan foydalanishni ham bilib olishimiz kerak.
Ushbu kurs ishida o’zining muhim tadbiqlariga ega bo’lgan sonli funksiyalar va ularning turlari haqida atroflicha ma’lumotlar, nazariyalar,tariflar, teoremalar, isbotlar, misollar keltrib o’tildi xulosa qilib aytganda, ushbu kurs ishida o’rganilgan sonli funksiyalar va ularning turlari, qo’llanilish usullari mavzusi amaliy ahamyatga ega bo’lgan Algebra a sonlar nazariyasi fanidagi muhim mavzulardan bo’lib, undan universitet matematika, matematika va informatika, amaliy matematika, fizika va astronomiya yo’nalishlarida tahsil olayotgan talabalar foydalanishlari mumkin. Nafaqat talabalar uchun balki, maktab o’quvchilari uchun ham tavsiya qilaman. Negaki, bu kurs ishida berilgan sonning bo’luvchilar soni va bo’luvchilar yig’indisini topish paragrifi kiritilgan. Bu maktab o’quvchilari uchun juda ham as qotadigan ma’lumotdir. Bu bilan ular o’zlari uchun oson va juda ham tez ishlash imkoni bo’lgan tub sonlarni ishlashda vaqtdan yutadilar.
Har qanday ilmni rivojlantirish uchun asosan eng avval ta’limning sifatiga e’tibor berish kerak. Ta’limning samarali olib borilishi har tomonlama metodika va dars mazmunini tushuntirib beruvchi ustozga bog’liq. Bizning bu kurs ishimizda asosan har tomonlama sonli funksiyalarning qay tartibda ishlatilishi, qay holatda qaysi savolga nisbatan ishlatilishi bilan bog’liq. Sonli funksiyala ham asosan o’zidan oldingi tub sonlar sonini aniqlash bilan bog’liq.
Foydalanilgan adabiyotlar1.O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh.M.Mirziyoyev “O‘zbekiston Respublikasidagi oliy ta’lim muassasalariga 2017-2018-yilgi o‘quv mavsumiga qabul qilish to‘g‘risida”gi qarori.2017y.
2.O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh.M.Mirziyoyev “O‘zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo‘yicha Harakatlar strategiyasi to‘g‘risida”gi farmoni.2017y.
3. O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyev “Oliy ta’lim tizimini yanada rivojlasntirish chora-tadbirlari” to‘g‘risidagi qarori 2017y.
4. D.I. Yunusova, A.S. Yunusov Algebra vа sonlar nazariyasi “ILM-ZIYO” Toshkent 2009y.
5. R.N.Nazarov, B.T.Toshpulatov, A.D.Dusumbetov Algebra vа sonlar nazariyasi 1-qism.“O‘qituvchi” nashriyoti Toshkent 1993y.
6. Сборник задач по алгебре. Под. ред. А.Кострикина. ~ М., «Наука», 1987.
7. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. — М., «Высшая школа», 1979. 8. Виленкин Н.Я. Алгебра и теория чисел. —М., 1984. 9. Шнеперман Л. Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. —Минск, «Высшейшая школа», 1982.
10. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник задач по теории чисел. —М., 1969
~ ~
http://hozir.org
| 