Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari. Koshi – Riman shartlari

Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari. Koshi – Riman shartlari. Biror sohada bir qiymatli funksiya berilgan bo’lsin. Agar deb olsak, u holda bu funksiyani shaklida ifodalash mumkin. Biz yuqorida ko’rdikki, funksiya tekislikning hech bir nuqtasida differensiallanuvchi emas. Lekin uning haqiqiy qismi va mavhum qismining koeffitsenti hamma yerda ixtiyoriy tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega. Bu yerdan kompleks funksiyaning differensiallanuvchi bo’lishi uchun va funksiyalar bir-biri bilan qandaydir bo’glangan bo’lishi kerak degan xulosa kelib chiqadi. Biz quyida ushbu bog’lanishni oshkor qilamiz. Faraz qilaylik funksiya biror nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin. U holda bu nuqtada

• Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari. Koshi – Riman shartlari. Biror sohada bir qiymatli funksiya berilgan bo’lsin. Agar deb olsak, u holda bu funksiyani shaklida ifodalash mumkin. Biz yuqorida ko’rdikki, funksiya tekislikning hech bir nuqtasida differensiallanuvchi emas. Lekin uning haqiqiy qismi va mavhum qismining koeffitsenti hamma yerda ixtiyoriy tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega. Bu yerdan kompleks funksiyaning differensiallanuvchi bo’lishi uchun va funksiyalar bir-biri bilan qandaydir bo’glangan bo’lishi kerak degan xulosa kelib chiqadi. Biz quyida ushbu bog’lanishni oshkor qilamiz. Faraz qilaylik funksiya biror nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin. U holda bu nuqtada
• limit mavjud bo’ladi. U holda intilish yoliga bog’liq holda tanlangan quyidagi xususiy limitlar ham mavjud va ularning qiymatlari ham ga teng bo’lishi lozim:

1. bo’lganda

• 1. bo’lganda
• (13.5)
• 2. bo’lganda esa
• (13.6)
• (13.5) va (13.6) dan
• tenglikni olamiz. Bu yerda kompleks sonlarning tenglik ta’rifini qo’llasak
• (13.7)
• munosabatlarning o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, agar funksiya biror nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda shu nuqtada (13.7) munosabatlarning bajarilishi zarurdir. Odatda (13.7) shartlar Koshi –Riman yoki Dalamber –Eyler shartlari deyiladi. (13.7) shartlar
• funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi uchun yetarli bo’la olmaydi. Quyidagi teoremada funksiya differensiallanuvchi bo’lishining yetarli shartlari keltiriladi.

Teorema. Agar va funksiyalar biror nuqtada ikki o’zgaruvchili haqiqiy funksiyalar sifatida differensiallanuvchi bo’lib, shu nuqtada (13.7) Koshi–Riman shartlari bajarilsa, u holda funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’ladi.

• Teorema. Agar va funksiyalar biror nuqtada ikki o’zgaruvchili haqiqiy funksiyalar sifatida differensiallanuvchi bo’lib, shu nuqtada (13.7) Koshi–Riman shartlari bajarilsa, u holda funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’ladi.