TADQIQOT MATERIALLARI VA METODLARI

Download 48,85 Kb.
bet	3/5
Sana	14.05.2024
Hajmi	48,85 Kb.
	#232521

1 2 3 4 5

Bog'liq
chiziqli-dinamik-boshqaruv-tizimi-uchun-minimaksli-tipdagi-silliqmas-optimallash-masalasi

TADQIQOT MATERIALLARI VA METODLARI

Maksimum tipidagi terminal funksionalli chiziqli optimal boshqaruv masalasining qo‘yilishi. Holatining biror 𝑡 ∈ 𝑇 = [𝑡₀, 𝑡₁] vaqt oralig‘ida o‘zgarishi 𝑥 = 𝑥(𝑡) n- vektor funksiya bilan ifodalanuvchi va boshqaruv ta’sirlari 𝑢 = 𝑢(𝑡) m-vektor funksiya bilan berilgan ob’yektni qaraymiz. Faraz qilaylik, boshqaruv ob’yektining dinamikasi ushbu

𝑥̇ = 𝐴⁽𝑡⁾𝑥 + 𝐵⁽𝑡⁾𝑢 + 𝑞(𝑡) (1)
chiziqli differensial tenglama bilan berilgan bo‘lsin. Bu yerda 𝐴⁽𝑡⁾= (𝑎_𝑖𝑗⁽𝑡⁾) – 𝑛 × 𝑛- matritsa, 𝐵⁽𝑡⁾= (𝑏_𝑖𝑗⁽𝑡⁾) – 𝑛 × 𝑚-matritsa, 𝑞⁽𝑡⁾= (𝑞_𝑖⁽𝑡⁾) – 𝑛-vektor funksiya. 𝐴⁽𝑡⁾, 𝐵⁽𝑡⁾matritsalar elementlarini va 𝑞⁽𝑡⁾vektor komponentalarini 𝑇 = [𝑡₀, 𝑡₁] oraliqda uzluksiz deb hisoblaymiz. Ob’yektning boshlang‘ich holati 𝑥⁽𝑡₀⁾= 𝑥⁰ berilgan bo‘lsin.

ta’rif. 𝑇 = [𝑡₀, 𝑡₁] oraliqda o‘lchovli va berilgan 𝑈 ⊂ 𝑅^𝑚 qavariq va kompakt to‘plamdan qiymatlar qabul qiluvchi 𝑢 = 𝑢(𝑡) m-vektor funksiyalarni joiz boshqaruvlar deb ataymiz. Barcha joyiz boshqaruvlar to‘plamini 𝑈(𝑇) deb belgilaymiz.

Differensial tenglamalar nazariyasidan yaxshi ma’lumki, (1) sistemaga yuqorida qo‘yilgan shartlarda har bir berilgan 𝑢(∙) ∈ 𝑈(𝑇) boshqaruvga va 𝑥⁽𝑡₀⁾= 𝑥⁰ boshlang‘ich shartga mos keluvchi yagona 𝑥 = 𝑥(𝑡, 𝑥⁰, 𝑢(∙)),𝑡 ∈ 𝑇 = [𝑡₀, 𝑡₁] absolyut usluksiz yechimi mavjud.

ta’rif. (1) differensial tenglamaning 𝑢(∙) ∈ 𝑈(𝑇) boshqaruvga va 𝑥⁽𝑡₀⁾= 𝑥⁰ boshlang‘ich shartga mos keluvchi 𝑥 = 𝑥(𝑡, 𝑥⁰, 𝑢(∙)),𝑡 ∈ 𝑇 yechimlarini boshqaruv sistemasining joiz trayektoriyalari deb aytamiz. 𝑥⁽𝑡₀⁾= 𝑥⁰ boshlangich shartga va barcha 𝑢(∙) ∈

𝑈(𝑇) joyiz boshqaruvlarga mos keluvchi joiz trayektoriyalar to‘plamini 𝐻(𝑥⁰, 𝑇) deb belgilaymiz.
Qaralayotgan chiziqli sistemani uning terminal holati bo‘yicha, yani joiz trayektoriyalarning 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢(∙)) chetki holatlari bo‘yicha boshqarish masalasini qaraymiz. Boshqacha aytganda, boshqaruv sifati termilal funksional bo‘yicha baholanadi. Bunday terminal funksional sifatida
𝑔 (𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) = ^∑𝑝max(𝑧_𝑖, 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) , 𝑢(∙) ∈ 𝑈(𝑇) (2)
𝑖=1 _𝑧_𝑖_∈𝑍_𝑖
ko‘rinishdagi funksionalni qaraymiz. Bu yerda 𝑍_𝑖, 𝑖 = 1^̅̅^̅,^̅𝑝^̅– 𝑅^𝑛 fazoning kompakt(ya’ni chegaralgan va yopiq) to‘plamlari. Qaralayotgan terminal funksionalni joiz trayektoriyalar to‘plami 𝐻(𝑥⁰, 𝑇) da aniqlangan
𝑔(𝑥⁽∙⁾) = ^∑𝑝max(𝑧_𝑖, 𝑥⁽𝑡₁⁾), 𝑥(∙) ∈ 𝐻(𝑥⁰, 𝑇)
𝑖=1 _𝑧_𝑖_∈𝑍_𝑖
funksional kabi ifodalash ham mumkin. (2) terminal funksionalning aniqlanishida ushbu
𝑝
𝑔⁽𝑥⁾= ∑ max(𝑧_𝑖, 𝑥)
𝑧_𝑖∈𝑍_𝑖

funksiya qatnashadi. Agar
𝑖=1

_∑𝑝
max(𝑧_𝑖, 𝑥) = max
_∑𝑝
( 𝑧_𝑖, 𝑥) = max
(^∑𝑝
𝑧_𝑖, 𝑥).

𝑖=1 _𝑧_𝑖_∈𝑍_𝑖
𝑧_𝑖∈𝑍_𝑖,𝑖=^̅1^̅,^̅𝑝^̅
𝑖=1
𝑧_𝑖∈𝑍_𝑖,𝑖=^̅1^̅,^̅𝑝^̅
𝑖=1

𝑖=1
munosabatni hisobga olsak va ^∑𝑝
𝑧_𝑖 = 𝑧, ^∑𝑝
𝑍_𝑖 = 𝑍
deb belgilasak,

𝑖=1
𝑔⁽𝑥⁾= max(𝑧, 𝑥)
𝑧∈𝑍
deb yozish mumkin. Shunday qilib, (2) terminal funksional
𝑔 (𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) = max(𝑧, 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) , 𝑢(∙) ∈ 𝑈(𝑇) (3)
𝑧∈𝑍
shaklda yozilishi mumkin. Demak, bundan keyin boshqaruv sifat jihatdan (3) terminal funksional bilan baholanayapdi deb hisoblaymiz.
Qaralayotgan chiziqli sistema uchun optimal boshqaruv masalasi (2), yani (3) funksionalni joyiz boshqaruvlar to‘plamida minimallashtirishdan iborat. Bu yerda minimallashtiriluvchi funksional (3) ko‘rinishdagi maksimum tipidagi funksional bo‘lgani uchun qo‘yilgan optimal boshqaruv masalasi minimaks tipidagi optimal boshqaryv masalalari sinfiga tegishli. Qo‘ylgan masalani qisqacha
max(𝑧, 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾))) → 𝑚𝑖𝑛, 𝑢⁽∙⁾∈ 𝑈(𝑇) (4)
𝑧∈𝑍
ko‘rinishda belgilaymiz.
(2) funksionalni mnimallashtiruvchi, ya’ni quyidagi
max (𝑧, 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢^∗⁽∙⁾)) = min max(𝑧, 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾))

𝑧∈𝑍
𝑢(∙)∈𝑈(𝑇)
𝑧∈𝑍

shart bilan aniqlanuvchi 𝑢^∗(∙) ∈ 𝑈(𝑇) boshqaruvga (4) minimaksli masalada optimal boshqaruv deb aytiladi. Optimal 𝑢^∗(∙) ∈ 𝑈(𝑇) boshqaruvga mos 𝑥^∗(𝑡) = 𝑥(𝑡, 𝑥⁰, 𝑢^∗(∙)) trayektoriyani optimal trayektoriya deb ataymiz.
Qo‘yilgan (4) minimaksli optimal boshqaruv masalasida terminal funksional (3)
ko‘rinishdagi silliqmas funksonaldan iborat, chunki u maksimum tipidagi 𝑔⁽𝑥⁾= max(𝑧, 𝑥)
𝑧∈𝑍
funksiya orqali berilgan. Bunday tipdagi funksiyalar esa silliqmas, ya’ni differensallanuvchilik xossasiga ega emas. Shuning uchun bu masala optimal boshqaruvning silliqmas tipdagi masalalariga sinfiga kiradi.

Download 48,85 Kb.

1 2 3 4 5

Download 48,85 Kb.