Chiziqli boshqaruv sistemasining erishish to‘plami va uning tayanch funksiyasi

𝑥(𝑡, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾) = 𝐹⁽𝑡, 𝑡₀
⁾𝑥⁰ +
^𝑡 𝐹⁽𝑡, 𝑟⁾𝐵⁽𝑟⁾𝑢(𝑟)𝑑𝑟 +
𝑡₀
^𝑡 𝐹⁽𝑡, 𝑟⁾𝑞(𝑟)𝑑𝑟
𝑡₀
(6)

bilan ifodalash mumkin.
Har bir 𝑢⁽∙⁾ ∈ 𝑈(𝑇) boshqaruv uchun 𝜑⁽𝑡⁾ = 𝐹⁽𝑡₁, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑢(𝑡) funksiyaning 𝑇 = [𝑡₀, 𝑡₁] oraliqda Lebeg integrali mavjud, ya’ni

{𝜉 ∈ 𝑅^𝑛: 𝜉 =
^𝑡1 𝐹⁽𝑡
, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑢⁽𝑡⁾𝑑𝑡 , 𝑢⁽∙⁾ ∈ 𝑈(𝑇) } (7)

∫_{𝑡0 1}
to‘plam bo‘sh emas. (7) to‘plamga 𝐺⁽𝑡⁾ = 𝐹⁽𝑡₁, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑈, 𝑡 ∈ 𝑇 = [𝑡₀, 𝑡₁] ko‘rinishdagi ko‘p qiymatli akslantirishning integrali [10] deb ataladi va

^𝑡1 𝐹⁽𝑡
, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑈𝑑𝑡
(8)

∫_{𝑡0 1}
kabi belgilanadi. Ko‘p qiymatli akslantirishlar nazariyasidan ma’lumki, 𝐺⁽𝑡⁾ =
𝐹⁽𝑡₁, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑈, 𝑡 ∈ 𝑇 akslantirish integraliu 𝑅^𝑛 fazoning qavariq va kompakt to‘plami bo‘ladi. Bizga bundan keyin zarur bo‘ladigan tayanch funksiya tuchunchasini keltiramiz.
𝑅^𝑛 fazoning 𝑊 kompakt to‘plami tayanch funksiyasi deb quyidagi
𝜎⁽𝑊, 𝜓⁾ = max(𝑤, 𝜓) , 𝜓 ∈ 𝑅^𝑛 (9)
𝑤∈𝑊
formula bo‘yicha aniqlangan funksiyaga aytiladi [5]. Tayanch funksiyalar qavariq tahlilda muhim ahamiyatga ega. Ularning ba’zi zarur xossalarini keltiramiz.
(9) dan 𝜎⁽𝑊, 𝜓⁾ funksiyaning 𝜓 ∈ 𝑅^𝑛 bo‘yicha qavariqligi, ya’ni ∀ 𝜓₁ ∈ 𝑅^𝑛, 𝜓₂ ∈
𝑅^𝑛, 𝛼₁ ≥ 0, 𝛼₂ ≥ 0, 𝛼₁ + 𝛼₂ = 1 uchun
𝜎⁽𝑊, 𝛼₁𝜓₁ + 𝛼₂𝜓₂⁾ ≤ 𝛼₁𝜎⁽𝑊, 𝜓₁⁾ + 𝛼₂𝜎⁽𝑊, 𝜓₂⁾
tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. 𝜎⁽𝑊, 𝜓⁾ tayanch funksiya birinchi argument bo‘yicha ham muhim xossaga ega: ixtiyoriy 𝑊₁, 𝑊₂ – kompakt to‘plamlar, 𝛼₁ ≥ 0, 𝛼₂ ≥ 0 sonlar va 𝜓 ∈ 𝑅^𝑛 uchun
𝜎⁽𝛼₁𝑊₁ + 𝛼₂𝑊₂, 𝜓⁾ = 𝛼₁𝜎⁽𝑊₁, 𝜓⁾ + 𝛼₂𝜎⁽𝑊₂, 𝜓⁾ (10)
tenglik bajariladi. 𝑊 kompakt to‘plam va uning 𝑐𝑜𝑊 qavariq qobigining tayanch funksiyalari teng:
𝜎⁽𝑊, 𝜓⁾ = 𝜎⁽𝑐𝑜𝑊, 𝜓⁾. (11)
(8) integralning tayanch funsiyasi uchun

𝑡₁ 𝑡₁
𝜎 ( 𝐹⁽𝑡 , 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑈𝑑𝑡 , 𝜓) = 𝜎⁽𝐹⁽𝑡
, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑈, 𝜓⁾𝑑𝑡
(12)

∫_{𝑡0 1} ∫_{𝑡0 1}
tenglik bajariladi.
𝑋⁽𝑡₁, 𝑥⁰⁾ erishish to‘plami qavariq va kompakt to‘plam bo‘lib, u uchun quyidagi

𝑋⁽𝑡 , 𝑥⁰⁾ = 𝐹⁽𝑡 , 𝑡
⁾𝑥⁰ +
^𝑡1 𝐹⁽𝑡
, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑈𝑑𝑡 +
^𝑡1 𝐹⁽𝑡
, 𝑡⁾𝑞⁽𝑡⁾𝑑
(13)

1 1 0
formula o‘rinli.
∫_{𝑡0 1}
∫_{𝑡0 1}

𝑥(𝑡 , 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾) = 𝐹⁽𝑡 , 𝑡
^{)𝑥0 +} ∫^{𝑡1 𝐹(𝑡}
, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑢(𝑡)𝑑𝑡 +
^𝑡1 𝐹⁽𝑡
, 𝑡⁾𝑞⁽𝑡⁾𝑑
(14)

1 1 0
_𝑡0 1
∫_{𝑡0 1}

Endi 𝑋⁽𝑡₁, 𝑥⁰⁾ erishish to‘plamining (5) ta’rifini va 𝐺⁽𝑡⁾ = 𝐹⁽𝑡₁, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑈, 𝑡 ∈ 𝑇 = [𝑡₀, 𝑡₁] ko‘p qiymatli akslantirishning integrali tushunchasidan foydalanib [10], (14) tenglikdan

13. 
    formulaga ega bo‘lamiz.
    

𝑋⁽𝑡₁, 𝑥⁰⁾ erishish to‘plamining tayanch funksiyasi uchun

𝜎⁽𝑋⁽𝑡 , 𝑥⁰⁾, 𝜓⁾= ⁽𝐹⁽𝑡 , 𝑡
⁾𝑥⁰, 𝜓⁾ +
^𝑡1 𝜎⁽𝐹⁽𝑡
, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑈, 𝜓⁾𝑑𝑡 +

1 1 0
+ ^𝑡1(𝐹⁽𝑡 , 𝑡⁾𝑞⁽𝑡⁾, 𝜓)𝑑𝑡
∫_{𝑡0 1}
(15)

∫_𝑡0
1
formula o‘rinli.
Haqiqatan ham, (13) formuladan va tayanch funksiyaning (10) xossasidan foydalanib,

𝜎⁽𝑋⁽𝑡 , 𝑥⁰⁾, 𝜓⁾= ⁽𝐹⁽𝑡
, 𝑡 ⁾𝑥⁰, 𝜓⁾ + 𝜎 (
^𝑡1 𝐹⁽𝑡
, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑈𝑑𝑡 , 𝜓) +

1 1
+ ^𝑡1(𝐹⁽𝑡
0
, 𝑡⁾𝑞⁽𝑡⁾, 𝜓)𝑑𝑡
∫_{𝑡0 1}

∫_{𝑡0 1}
tenglikni hosil qilamiz. Endi (8) integralning tayanch funksiyasu uchun (12) tenglikdan foydalansak, (15) formulaga ega bo‘lamiz.

TADQIQOT NATIJALARI

1. 
   Terminal funksionalning xossalari. (1) chiziqli boshqaruv sistemasining trayektoriyalarida aniqlangan (2) ko‘rinishdagi, ya’ni
   

𝑔 (𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) = ^∑𝑝 max(𝑧_𝑖, 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) , 𝑢(∙) ∈ 𝑈(𝑇)
𝑖=1 _{𝑧𝑖∈𝑍𝑖}
terminal funksionalning ba’zi xossalarini keltiramiz. Bu funksionalni 𝑍_𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑝
to‘plamlar tayanch funksiyalari orqali

𝑖=1
𝑔 (𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) = ^∑𝑝
𝜎(𝑍_𝑖, 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) , 𝑢(∙) ∈ 𝑈(𝑇)

𝑖=1
ko‘rinishda, yoki 𝑍 = ^∑𝑝 𝑍_𝑖 deb olganda esa,
𝑔 (𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) = 𝜎(𝑍, 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) , 𝑢(∙) ∈ 𝑈(𝑇)
kabi yozish ham mumkin.Tayanch funksiyalarning (11) xossasiga ko‘ra
𝜎 (𝑍, 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) = 𝜎 (𝑐𝑜𝑍, 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)).
Shunday qilib,
𝑔 (𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) = 𝜎(𝑐𝑜𝑍, 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) , 𝑢(∙) ∈ 𝑈(𝑇) . (16)

13. 
    formuladan foydalanib, ixtiyoriy z∈ 𝑍 uchun
    

(𝑧, 𝑥(𝑡 , 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) = (𝐹⁽𝑡 , 𝑡
⁾𝑥⁰, 𝑧) +
^𝑡1(𝐹⁽𝑡
, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑢⁽𝑡⁾, 𝑧)𝑑𝑡+

1 1 0

𝑡₁

∫_{𝑡0 1}

+ ∫ (𝐹⁽𝑡₁, 𝑡⁾𝑞⁽𝑡⁾, 𝑧)𝑑𝑡
𝑡₀

^{|𝐽(𝑢 (∙)) − 𝐽(𝑢 (∙))| ≤ 𝑀} ∫^{𝑡1‖𝑢 (𝑡) − 𝑢
(}𝑡^)‖𝑑𝑡, (18)

1 2 _𝑡0 1 2

bajariladi. Bu yerda
𝑀 = max^‖𝐹⁽𝑡₁, 𝑡⁾𝐵(𝑡)<sup>‖ ∑𝑝


‖</sup>𝑍^‖, ^‖𝑍^‖ = max^‖𝑧^‖ .

𝑡∈𝑇
𝑖=1
z∈Z

Isboti. Quyidagi funsionalni qaraymiz:

𝜇⁽𝑢⁽∙⁾, 𝑧⁾ = (𝐹⁽𝑡 , 𝑡 ⁾𝑥⁰, 𝑧) + ^𝑡1(𝐹⁽𝑡
, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑢⁽𝑡⁾, 𝑧)𝑑𝑡+

1 0 ^∫_𝑡0 1

+ ^𝑡1(𝐹⁽𝑡
, 𝑡⁾𝑞⁽𝑡⁾, 𝑧⁾𝑑𝑡.
(19)

∫_{𝑡0 1}
(17) formulani hisobga olib va (19) funksionaldan foydalanib, 𝐽(𝑢⁽∙⁾) =
𝑔 (𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) funksionalni
𝐽(𝑢⁽∙⁾) = max 𝜇⁽𝑢⁽∙⁾, 𝑧⁾ (20)
𝑧∈𝑐𝑜𝑍
kabi yozish mumkin. 𝜇⁽𝑢⁽∙⁾, 𝑧⁾ funksional har bir argument bo‘yicha chiziqlidir. Shuni hisobga olib, ixtiyoriy 𝑢₁(∙) ∈ 𝑈(𝑇), 𝑢₂(∙) ∈ 𝑈(𝑇), 𝛼₁ ≥ 0, 𝛼₂ ≥ 0, 𝛼₁ + 𝛼₂ = 1, uchun quyidagi
𝐽⁽𝛼₁𝑢₁⁽∙⁾ + 𝛼₂𝑢₂(∙)⁾ = max 𝜇⁽𝛼₁𝑢₁⁽∙⁾ + 𝛼₂𝑢₂(∙), 𝑧⁾ =
𝑧∈𝑐𝑜𝑍
= max [ 𝛼₁𝜇⁽𝑢₁⁽∙⁾, 𝑧⁾ + 𝛼₂𝜇⁽𝑢₂(∙), 𝑧⁾] ≤
𝑧∈𝑐𝑜𝑍
≤ 𝛼₁max 𝜇⁽𝑢₁⁽∙⁾, 𝑧⁾+ 𝛼₂max 𝜇⁽𝑢₂(∙), 𝑧⁾=𝛼₁ 𝐽⁽𝑢₁⁽∙⁾) + 𝛼₂𝐽(𝑢₂(∙)⁾
𝑧∈𝑐𝑜𝑍 𝑧∈𝑐𝑜𝑍
tengsizlikni olamiz, ya’ni 𝐽(𝑢⁽∙⁾) funksional 𝑈(𝑇) da qavariqdir.
Endi (18) tengsizlikning to‘g‘riligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy 𝑢₁(∙) ∈ 𝑈(𝑇), 𝑢₂(∙) ∈ 𝑈(𝑇)
olib, (19) funksional uchun quyidagi tengsizlikni yozamiz:
^|𝜇⁽𝑢₁⁽∙⁾, 𝑧⁾ − 𝜇⁽𝑢₂(∙), 𝑧^)|=

^=|∫^{𝑡1(𝐹(𝑡}
, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡^)
(𝑡⁾, 𝑧⁾𝑑𝑡 −
^𝑡1(𝐹⁽𝑡 , 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑢
(𝑡), 𝑧⁾𝑑𝑡| ≤

_𝑡0 1 1
∫_{𝑡0 1}
2
𝑡₁

≤ max^‖𝐹⁽𝑡₁, 𝑡⁾𝐵(𝑡)^‖ max ^‖𝑧^‖ ∫ ^‖𝑢₁⁽𝑡⁾ − 𝑢₂(𝑡)^‖ dt

𝑡∈𝑇
z∈coZ
𝑡₀

Bu yerdan (20) tenglikni hisobga olib,
|𝐽(𝑢₁⁽∙⁾) − 𝐽(𝑢₂⁽∙⁾)| = | max 𝜇⁽𝑢₁⁽∙⁾, 𝑧⁾ − max 𝜇⁽𝑢₂⁽∙⁾, 𝑧⁾| ≤
𝑧∈𝑐𝑜𝑍 𝑧∈𝑐𝑜𝑍
≤ max ^|𝜇⁽𝑢 ⁽∙⁾, 𝑧⁾ −𝜇⁽𝑢 ⁽∙⁾, 𝑧^)| ≤ 𝑀 ^𝑡1‖𝑢 ⁽𝑡⁾ − 𝑢 (𝑡)^‖ dt,

𝑧∈𝑐𝑜𝑍 ^{1 2
∫}_𝑡0 1 2

ya’ni (18) tengsizlikni hosil qilamiz.

Download 48,85 Kb.