Optimal boshqaruvning mavjudligi

Download 48,85 Kb.
bet	5/5
Sana	14.05.2024
Hajmi	48,85 Kb.
	#232521

1 2 3 4 5

Bog'liq
chiziqli-dinamik-boshqaruv-tizimi-uchun-minimaksli-tipdagi-silliqmas-optimallash-masalasi

MUHOKAMA
XULOSA
REFERENCES

2. Optimal boshqaruvning mavjudligi. (4) masalani

𝑔(𝑥⁽∙⁾) = 𝜎(𝑐𝑜𝑍, 𝑥⁽𝑡₁⁾) = max (𝑧, 𝑥(𝑡₁)) (21)
𝑧∈𝑐𝑜𝑍
funksiobnalni 𝐻(𝑥⁰, 𝑇) trayektoriyalar to‘plamida minimallash masalasidan iborat deb qarash mumkin. Joiz trayektoriyalar to‘plami 𝐻(𝑥⁰, 𝑇) – 𝐶^𝑛(𝑇) fazoda qavariq va kompakt to‘plamdan iborat. Ixtiyoriy 𝑥₁(∙) ∈ 𝐶^𝑛(𝑇), 𝑥₂(∙) ∈ 𝐶^𝑛(𝑇), 𝛼₁ ≥ 0, 𝛼₂ ≥ 0, 𝛼₁ + 𝛼₂ = 1, uchun quyidagi
𝑔⁽𝛼₁𝑥₁⁽∙⁾+ 𝛼₂𝑥₂(∙)⁾= max ⁽𝑧, 𝛼₁𝑥₁⁽𝑡₁⁾+ 𝛼₂𝑥₂(𝑡₁)⁾=
𝑧∈𝑐𝑜𝑍
= max [ 𝛼₁(𝑧, 𝑥₁⁽𝑡₁⁾) + 𝛼₂⁽𝑧, 𝑥₂(𝑡₁)⁾] ≤
𝑧∈𝑐𝑜𝑍
≤ 𝛼₁max⁽𝑥₁⁽∙⁾, 𝑧⁾+ 𝛼₂max ⁽𝑥₂(∙), 𝑧⁾=𝛼₁𝑔⁽𝑥₁⁽∙⁾) + 𝛼₂𝑔(𝑥₂(∙)⁾,
𝑧∈𝑐𝑜𝑍 𝑧∈𝑐𝑜𝑍
|𝑔(𝑥₁⁽∙⁾) − 𝑔(𝑥₂⁽∙⁾)| = | max (𝑧, 𝑥₁⁽𝑡₁⁾) − max (𝑧, 𝑥₂⁽𝑡₁⁾)| ≤
𝑧∈𝑐𝑜𝑍 𝑧∈𝑐𝑜𝑍
≤ max |(𝑧, 𝑥₁⁽𝑡₁⁾) −(𝑧, 𝑥₂⁽𝑡₁⁾)| ≤ max ^‖𝑧^‖‖𝑥₁⁽𝑡₁⁾− 𝑥₂⁽𝑡₁^)‖≤
𝑧∈𝑐𝑜𝑍 𝑧∈𝑐𝑜𝑍
≤ max^‖𝑧^‖max^‖𝑥₁⁽𝑡⁾− 𝑥₂⁽𝑡^)‖= ^‖𝑐𝑜𝑍^‖‖𝑥₁⁽∙⁾− 𝑥₂(∙)^‖𝐶^𝑛_(𝑇).
𝑧∈𝑐𝑜𝑍 ^𝑡∈𝑇
munosabatlar bajariladi. Bundan (21) funksionalning 𝐶^𝑛(𝑇) fazoda qavariq va uzluksizligi kelib chiqadi. Shularni hisobga olib, funksional tahlil natigalariga ko‘ra quyidagi tasdiqni olamiz.

teorema. (4) masalada optimal trayektoriyalar to’plami 𝐶^𝑛(𝑇) fazoda bo‘sh bo‘lmagan qavariq va kompakt to‘plamdan iborat bo‘ladi.
2
teorema. (4) masalada optimal boshqaruvlar to‘plami 𝐿^𝑚(𝑇) fazoning bo‘sh bo‘lmagan qavariq, chegaralangan va yopiq to‘plami bo‘ladi. Har qanday minimallashtiruvchi 𝑢_𝑘(∙) ∈

𝑈(𝑇) boshqaruvlar ketma-ketligi biror optimal bohqaruvga kuchsiz yaqinlashadi.
Isboti. (1) sistema uchun joiz trayektoriyalar to‘plami 𝑈(𝑇) 𝑇 = [𝑡₀, 𝑡₁] oraliqda kvadrati bilan integarallanubchi (Lebeg bo‘yicha) va norma
𝑡₁₁

2
^‖𝑢(∙)^‖_𝐿^𝑚_(𝑇)= (∫ ^‖𝑢(𝑡)^‖𝑅^𝑛𝑑𝑡)²
𝑡₀

2

2
kabi aniqlanuvchi m- vector funksiyalar fazosi 𝐿^𝑚(𝑇) ning bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plamidir. Funksional tahlildan ma’lumki, bu to‘plamning qavariq, chegaralangan va yopiq to‘plamdan iborat ekanligi uning 𝐿^𝑚(𝑇) da kuchsiz kompaktligini bildiradi.
2-lemmadagi (18) tengsizikga Koshi-Bunyalovskiy tengsizligini qo‘llaymz. Bu tengsizlik
ixtiyoriy 𝑢(∙) ∈ 𝐿¹ (𝑇) va 𝑣(∙) ∈ 𝐿¹ (𝑇) funksiyalar uchun o‘rinli bo‘lgan

2 2
𝑡₁
𝑡₁
1 ^𝑡¹1

∫ 𝑢⁽𝑡⁾𝑣⁽𝑡⁾𝑑𝑡 ≤ (∫ 𝑢²(𝑡)𝑑𝑡)²(∫ 𝑣²(𝑡)𝑑𝑡)²

𝑡₀
𝑡₀
𝑡₀

ko‘rinishdagi tengsizlikdan iborat. Shu tengsislikga ko‘ra

𝑡₁
𝑡₁
1 ^𝑡¹1

∫ ^‖𝑢₁⁽𝑡⁾− 𝑢₂(𝑡)^‖dt ≤ (∫ 𝑑𝑡)²(∫ ^‖𝑢₁⁽𝑡⁾− 𝑢₂(𝑡)^‖2𝑑𝑡)²=

𝑡₀
𝑡₀
1
𝑡₀

2
= (𝑡₁ − 𝑡₀)²^‖𝑢₁⁽∙⁾− 𝑢₂(∙)^‖_𝐿^𝑚_(𝑇).
Natijada, (18) tengsizlkdan
1

2
|𝐽(𝑢₁⁽∙⁾) − 𝐽(𝑢₂⁽∙⁾)| ≤ 𝑀(𝑡₁ − 𝑡₀)²^‖𝑢₁⁽∙⁾− 𝑢₂(∙)^‖_𝐿^𝑚_(𝑇)
tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan

𝑝
𝐽(𝑢⁽∙⁾) = 𝑔 (𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾)) = ∑ max(𝑧_𝑖, 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢⁽∙⁾))
𝑧_𝑖∈𝑍_𝑖
𝑖=1
funksionalning joiz trayektoriyalar to‘plami 𝑈(𝑇) da uzluksis ekanlgi keliv chiqadi. 2- lemmga ko‘ra bu funksional qavariq hamdir.

2
Shunday qilib, (4) minimaksi masala qavariq va usluksiz 𝐽(𝑢⁽∙⁾) funksionalning qavariq, chegaralangan va yopiq 𝑈(𝑇) ⊂ 𝐿^𝑚(𝑇) to‘plamda minimumini toppish masalasidan iborat. Funksional tahlil va qavariq tahlil natijalariga ko‘ra 𝐽(𝑢⁽∙⁾) funksionalning 𝑈(𝑇)da minimumi, ya’ni (4) masalada optimal boshqaruv mavjud. Bundan tashqari, istalgan minimallashtiruvchi boshqaruvlar ketma-ketligi, ya’ni

lim 𝐽(𝑢_𝑘(∙)) = min
𝐽(𝑢(∙))

𝑘→∞ 𝑢(∙)∈𝑈(𝑇)
shartni qanoatlantiruvchi 𝑢_𝑘(∙) ∈ 𝑈(𝑇) funksiyalar ketma-ketligi biror 𝑢^∗(∙) optimal bohqaruvga kuchsiz yaqinlashadi [1,9]. Teorema isbotlandi.

MUHOKAMA

Qo‘yilgan (4) minimaksli boshqaruv masalasida optimal boshqaruvning mavjudligini o‘rganishda joiz boshqaruvlar to‘plami va joiz trayektoriyalar to‘plamining quyidagi muhim xossalaridan foydalanildi:

2
Joiz boshqaruvlar to‘plami 𝑈(𝑇) – 𝑇 = [𝑡₀, 𝑡₁] oraliqda kvadrati bilan integrallanuvchi m-vektor funksiyalar chiziqli fazosi 𝐿^𝑚(𝑇) ning qavariq, yopiq va

chegaralangan to‘plamidan iborat bo‘ladi.

Joiz trayektoriyalar to‘plami 𝐻(𝑥⁰, 𝑇) – 𝑇 = [𝑡₀, 𝑡₁] oraliqda uzluksiz n-vektor funksiyalar fazosi 𝐶^𝑛(𝑇) ning qavariq, tekis chegaralangan, tekis darajali usliksiz va yopiq to‘plamidan iborat.

Bu xossalarning to‘g‘riligi funksional tahlil va differensial tenglamalar nazariyasi natijalaridan kelib chiqadi.
Agar 𝑢_𝑘(∙) ∈ 𝑈(𝑇) – minimallastiruvchi boshqaruvlar ketma-ketligi bo‘lib, 𝑢^∗(∙) optimal boshqaruv uning kuchsiz limiti bo‘lsa, u vaqtda 𝑢_𝑘(∙) boshqaruvlarga mos joiz trayektoriyalar o‘ng uchlaridan tuzilgan 𝑥_𝑘 = 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢_𝑘⁽∙⁾) nuqtalar ketma-ketligi 𝑢^∗(∙) optimal boshqaruvga mos 𝑥^∗(∙) optimal trayektoriyaning o‘ng uchi 𝑥^∗ = 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢^∗⁽∙⁾) nuqtaga yaqinlashadi.
Haqiqatan ham, (14) formilaga ko‘ra

𝑥(𝑡 , 𝑥⁰, 𝑢
⁽∙⁾) = 𝐹⁽𝑡 , 𝑡 ⁾𝑥⁰ + ^𝑡¹𝐹⁽𝑡 , 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑢
(𝑡)𝑑𝑡 +

^𝑡¹𝐹⁽𝑡
1 𝑘
, 𝑡⁾𝑞⁽𝑡⁾𝑑𝑡.
1 0 ^∫_𝑡₀1 𝑘

∫_𝑡₀
1
𝑢_𝑘(∙) ∈ 𝑈(𝑇) funksiyalar ketma-ketligining biror 𝑢^∗(∙) optimal bohqaruvga kuchsiz

yaqinlashishini hisobga olib,

𝑡₁

lim 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢_𝑘⁽∙⁾) = lim [ 𝐹⁽𝑡₁, 𝑡₀⁾𝑥⁰ + ∫ 𝐹⁽𝑡₁, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑢_𝑘⁽𝑡⁾𝑑𝑡 +

𝑘→∞

𝑡₁

𝑘→∞
𝑡₀
𝑡₁

+ ∫ 𝐹⁽𝑡₁, 𝑡⁾𝑞⁽𝑡⁾𝑑𝑡] = 𝐹⁽𝑡₁, 𝑡₀⁾𝑥⁰ + ∫ 𝐹⁽𝑡₁, 𝑡⁾𝐵⁽𝑡⁾𝑢^∗⁽𝑡⁾𝑑𝑡 +

𝑡₀
+ ^𝑡¹𝐹⁽𝑡 , 𝑡⁾𝑞⁽𝑡⁾𝑑𝑡] = 𝑥(𝑡

, 𝑥⁰, 𝑢^∗⁽∙⁾),

𝑡₀

^∫_𝑡₀1 1

munosabatni olamiz, ya’ni 𝑥_𝑘 = 𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢_𝑘⁽∙⁾) nuqtalar ketma-ketligi 𝑢^∗(∙) optimal boshqaruvga mos keluvchi 𝑥^∗(∙) optimal trayektoriyaning o‘ng uchi bo‘lgan 𝑥^∗ =
𝑥(𝑡₁, 𝑥⁰, 𝑢^∗⁽∙⁾) nuqtaga yaqinlashadi.

XULOSA

Shunday qilib, ushbu ishda dinamik tizim chiziqli modeli uchun cheksiz o‘lchamli ekstremal masala– minimaks tipidagi silliqmas optimal boshqaruv masalasi tadqiq etildi. Bunda dinamik tizimlar, qavariq tahlil va ko‘p qiymatli akslantirish integrali xossalaridan foydalngan holda sistema erishish to‘plamining va silliqmas funksionalning xossalari o‘rganildi. Shular hamda joiz boshqaruv va joiz trayektoriyalar to‘plamining topologik xossalaridan foydalanib, qaralgan masalada optimal boshqaruvning mavjudligi shartlari olindi. Optimal boshqaruvlar to‘plami va optimal trayektoriyalar to‘plamining qavariqligi, kompaktligi ko‘rsatildi. Minimallashtiruvchi boshqaruvlarga mos trayektoriyalar o‘ng uchlarining optimal trayektoriya o‘ng uchiga yaqinlashish haqidagi natija ham olindi.

REFERENCES

Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. –М.: Наука, 1979.
Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982.
Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в экономике. - СПб: Питер, 2000.
Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. –М.: Мир, 1988.
Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. – М.: Наука, 1980.
Черноморов Г.А. Теория принятия решений. – Новочеркасск: 2002.
Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.
Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. – М.: Наука, 1990.
Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. – М.: Наука, 1988.
Половинкин Е.С. Многозначный анализ и дифференциальные включения. –М.: Физматлит, 2015.
Otakulov S. The control problems of ensemble of trajectories of differensial inclusions. LAP Lambert Academic Publishing, 2019.
Otakulov S., Kholiyarova F.Kh. On the theory of controlled differential inclusions with retarded argument. Reports of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan ., No. 3, 2005. - p. 14-17.
Otakulov S., Kholiyarova F.Kh. About the conditions of optimality in the minimax problem for controlling differential inclusion with delay. Academica: An International Multidisciplinary Research Jounal,Vol.10, Issue 4, 2020. pp. 685–694.
Otakulov S.,Haydarov T.T. The nonsmooth control problem for dinamic system with parameter under conditions of incomplete initial date. International Conference On Innovation Perspectives, Psychology and Social Studiees(ICIPPCS-2020), may 11-12 2020. International Enjineering Journal for Research & Development(IEJRD). pp.211-214.
Otakulov S., Rahimov B. Sh., Haydarov T.T. The nonsmooth optimal control problem for ensemble of trajectories of dynamic system under conditions of indeterminacy. Middle European Scientific Bulletin, vol. 5, October 2020. -p. 38-42.
Otakulov S., Kholiyarova F.Kh. About conditions of controllability of ensemble trajectories of differential inclusion with delay. International Journal of Statistics and Applied Mathematics. V.5, issue 3, 2020.–p.59–65.
Otakulov S., Rahimov B. Sh. Haydarov T.T. On the property of relative controllability for the model of dynamic system with mobile terminal set. AIP Conference Proceedings, 2022, 2432, 030062. -p. 1–5.
Otakulov S., Musayev A. O., Abdiyeva H.S. Application the mathematical methods in the problem of decision making under informational constraints. Proceedings of Scholastico- 2021, International Consortium on Academic Trends of Education and Science, April 2021. London, England. -p. 105-107.
Otakulov S., Rahimov B. Sh. On the structural properties of the reachability set of a differential inclusion. Proceedings of International Conference on Research Innovations in Multidisciplinary Sciences, March 2021. New York, USA. -p. 150-153.
Отакулов С., Хайдаров Т.Т. Негладкая задача оптимального управления для динамической системы с параметром. Central Asian Journal of Theoretical and Applied Sciences.Vol. 2, Issue 10, 2021. pp. 132-138.
Otakulov S., Haydarov T.T., Sobirova G. D. The minimax optimal control problem for dynamic system with parameter and under conditions of indeterminacy. International Conference on Digital Society, Innovations &Integrations of Life in New Centuru, Januar 2021. International Enjineering Journal for Research & Development(IEJRD), ICDSIIL-21 Issue. pp. 279-282.
Otakulov S., Murotboyev M.B. Noanilik sharoitidag boshqaruv tizimi uchun silliqmas terminal funksionalning xossalari. “Zamonaviy innovatsion tadqiqotlarning dolzarb muammolari va rivojlanish tendensiyalari: yechimlar va istiqbollar”. Respublika miqyosidagi ilmiy-texnik anjuman materiallari to‘plami, 2022 yil 13-14 may, O‘zMU Jizzax filiali. Jizzax, 2022. 349–352 b.
Oтакулов С., Равшанов И.А. Свойства одного класса функций типа максимума и минимума и их применение к негладим задачам ортимизации // Science and innovation. -№ 2,series A, 2022. - pp. 60-68.
Oтакулов С., Жуманов К.С. Негладкая задача оптимального управления для линейной модели динамических систем // Science and innovation. -№ 3,series A, 2022. - pp. 252- 259.
Oтакулов С., Жуманов К.С. Задача оптимизации негладкого терминального функционала для линейной динамической системы управления. Теоретические основы и прикладные задачи современной математики. Сборник материалов Республиканской научно-практической конференции. Андижан, Андижанский госуниверситет, 28 марта 2022 года. Часть 1. с.261-264.
Жуманов К.С. Чизиқли тизимни силлиқмас терминал мезон бўйича оптимал бошқариш масаласи. Замонавий инновацион тадқиқотларнинг долзарб муаммолари ва ривожланиш тенденциялари: ечимлар ва истиқболлар. Республика миқёсидаги илмий-

техник анжуман материаллари тўплами. Ўзбекистон Миллий университети Жиззах филиали, Жиззах,13-14 май 2022 йил. 331-334 б.

Download 48,85 Kb.

1 2 3 4 5

Download 48,85 Kb.