§5. Halqa ideali. Faktor halqa. Halqalar gomomorfizmi
K halqaning quyidagi:
a)
b) ixtiyoriy va lar uchun ko’paytma I ga tegishli: , shartlarni qanoatlantiruvchi bo’sh bo’lmagan I qismto’plami uning chap (o’ng) ideali deyiladi.
K halqaning bir vaqtning o’zida ham chap ham o’ng ideali bo’ladigan qismto’plami halqaning ikki tomonlama ideali deyiladi.
Agar K halqada biror M to’plam berilgan bo’lsa M to’plamning hamma elementlarini o’z ichiga olgan eng kichik (o’z ichiga saqlash ma’nosida) (chap, o’ng, ikki tomonlama) ideal M to’plam bilan yaratilgan (mos ravishda chap, o’ng yoki ikki tomonlama) ideal deyiladi va (M) bilan belgilanadi. Bu ideal K halqaning hamma (mos ravishda chap, o’ng yoki ikki tomonlama) ideallari kesishmasidan iborat bo’ladi. Bitta a element bilan yaratilgan ideal bosh ideal deyiladi. a element bilan yaratilgan chap bosh ideal bilan, o’ng bosh ideal bilan, ikki tomonlama bosh ideal esa (a) bilan belgilanadi. Agar K – birli kommutativ halqa bo’lsa, (a) bosh ideal hamma ko’rinishdagi elementlardan iborat bo’ladi, bunda . Har bir ideali bosh ideal bo’lgan birli, nolning bo’luvchilarisiz kommutativ halqa (butunlik sohasi) bosh ideallar halqasi deyiladi.
ideal halqaning ikki tomonlama ideali, bo’lsin. Agar bo’lsa a element b element bilan ideal moduli bo’yicha (yoki qisqacha I ideal bo’yicha) taqqoslanadi deydilar va shaklda belgilaydilar. Ideal bo’yicha taqqoslamalrni hadlab qo’shish, ayirish va ko’paytirish mumkin.
Xususiy holda , bunda bo’lsa, o’rniga yozadilar va bu holda a son b son bilan modul bo’yicha taqqoslanadi deydilar.
halqaning additiv gruppasining qismgruppa bo’yicha qo’shni sinfi ideal moduli bo’yicha (yoki qisqacha ideal bo’yicha) chegirtmalar sinfi deyiladi.
halqaning modul bo’yicha hamma chegirtmalar sinflari to’plamida qo’shish va ko’paytirishni quyidagi tengliklar bilan aniqlash mumkin:
Bu amallarga nisbatan chegirtmalar sinflari to’plami halqa bo’ladi. Bu halqa halqaning ideal bo’yicha faktor halqasi deyiladi va shaklda belgilanadi.
birli kommutativ halqa bo’lsin. Agar va dan yoki kelib chiqsa K halqaning P ideali sodda ideal deyiladi. Agar va (tegishlilik qat’iy) shartni qanoatlantiruvchi I ideal mavjud bo’lmasa M ideal K halqaning maksimal ideali deyiladi.
Sodda va maksimal ideallarning ahamiyati quyidagi teoremada ifodalangan: agar birli kommutativ halqa bo’lsa u holda 1) agar sodda ideal bo’lsa faktor halqa butunlik sohasi bo’ladi;
2) maksimal ideal bo’lganda va faqat shu holdagina faktor-halqa maydon bo’ladi.
Ushbu halqalar berilgan bo’lsin. Ixtiyoriy lar uchun shartlarni qanoatlantiruvchi
akslantirish halqaning halqada gomomorfizmi deyiladi. Inyektiv gomomorfizm monomorfizm, syuryektiv gomomorfizm epimorfizm va biyektiv gomomorfizm izomorfizm deyiladi.
halqaning halqada gomomorfizmining yadrosi deb to’plamga aytiladi. gomomorfizmning yadrosi bilan belgilanadi. U halqaning ikki tomonlama ideali bo’ladi.
Agar -- akslantirish halqalar gomomorfizmi bo’lsa u holda bo’ladi (halqalar gomomorfizmi haqidagi teorema).
| 