1-m i s o l. halqaning har qanday ideali halqaning (umuman olganda e birlik elementni o’z ichiga olmaydigan) qismhalqasi bo’lishi qismhalqaning ta’rifidan kelib chiqadi. ■
2-m i s o l. Har qanday qismhalqa ham ideal bo’lavermaydi. Haqiqatan, butun koeffisiyentli ko’phadlar halqasi haqiqiy koeffisiyentli ko’phadlar halqasi ning qismhalqasi. Ammo halqa ning ideali emas, chunki masalan ko’phad ga tegishli, unga karrali bo’lgan
ko’phad kasr koeffisiyentlarga ega va shuning uchun ga tegishli emas. ■
3-m i s o l. Ozod hadi nol bo’lgan ko’phadlarning to’plami va o’zgaruvchilarning haqiqiy koeffisiyentli ko’phadlari halqasi ning ideali bo’lishini ko’rsating.
Yechish.Haqiqatan, agar va ko’phadlarning ozod hadlari nolga teng bo’lsa ko’phadning ozod hadi va shuningdek (bu yerda ) ko’rinishdagi har qanday ko’phadning ham ozod hadi nolga teng bo’ladi. Boshqacha qilib aytganda agar va bo’lsa, bo’ladi; va bo’lganda esa, bo’ladi. Demak, to’plam halqada ideal. Bu ideal bosh ideal emas. Haqiqatan va ko’phadlar ga tegishli bo’lgani holda da ham, ham karrali bo’ladigan birorta ham ko’had mavjud emas. ■
4-m i s o l. halqaning ikkita chap ideallarining kesishmasi halqaning chap ideali bo’lishini isbotlang.
Yechish. va bo’lsin. U holda . da ideal bo’lgani uchun bo’ladi. Xuddi shu tarzda ko’rsatiladi va shuning uchun Va yana, agar va bo’lsa, bo’ladi va to’plam da chap ideal bo’lgani uchun bo’ladi. Xuddi shu tarzda hosil qilinadi. Shuning uchun Bundan ning da chap ideal ekanligi kelib chiqadi. ■
5-m i s o l. Kommutativ halqaning bosh ideali har qanday uchun mavjud va:
a) agar bo’lsa,
b) agar bo’lsa,
Yechish.a) ko’rinishdagi ikki ifodaning ayirmasi ham, shubhasiz, shunday ko’rinishga ega. Karralisi esa: ya’ni yoki ko’rinishda bo’ladi.
Shubhasizki, ideal elementni o’z ichiga oladigan ideallar orasida eng kichigi, chunki har bir ideal har holda o’z ichiga hamma karralilarni va hamma ko’rinishdagi yig’indilarni va shuning uchun hamma ko’rinishdagi yig’indilarni olishi kerak. Shunday qilib ideal elementni o’z ichiga oladigan hamma ideallar kesishmasi kabi aniqlanadi.
b) agar halqa 1 birlik elementga ega bo’lsa uchun yozuvdvn foydalanish mumkin. Demak, bu holda ideal hamma karralilardan iborat bo’ladi. ■
6-m i s o l. Agar halqaning ideali teskarilanuvchi elementni o’z ichiga olsa, bo’lishini isbotlang.
Yechish.to’plam ning ideali bo’lgani uchun Boshqa tomondan, agar teskarilanuvchi bo’lsa, bundan Demak, ■
Agar shartni qanoatlantiradigan natural son mavjud bo’lsa halqaning elementi nilpotent element deyiladi. Barcha nilpotent elementlarning to’plami halqaning radikali deyiladi.
7-m i s o l. Kommutativ halqaning radikali ideal bo’lishini isbotlang.
Yechish.Ta’rifga asosan bo’lsa, va bo’ladigan va natural sonlar mavjud bo’ladi. U holda =0 bo’ladi, chunki tenglikning chap tomonidagi ifoda yoyilmasida har bir had ko’paytuvchiga ega va shu sababli yo va yoki va shuning uchun ■
8-m i s o l. - maydondagi ko’phadlar halqasi bo’lsin. bo’lishini isbotlang. Bu yerda ga tegishli eng kichik darajali ko’phad, ya’ni bosh ideallar halqasidir.
Yechish. bo’lsin. ni ga qoldiqli bo’lamiz: agar bo’lsa va Bu esa ning eng kichik darajali ekanligiga ziddir.
Demak, va va shuning uchun esa ko’rinib turgan tasdiq. ■
|
