Tekislikdagi egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash. Maktab geometriyasida tekislikdagi egri chiziqlardan faqat aylana va uning yoylari uzunligini hisoblash formulasi beriladi. Parabola, giperbola, sinusoida kabi egri chiziqlarning turli yoylari uzunligini hisoblash masalasi amaliyotda kerak bo‘ladi. Bu masala ham aniq integral yordamida o‘z yechimini topadi.
у=f(x), x[a,b], funksiya bilan berilgan egri chiziqning AB yoyi uzunligini topish masalasini qaraymiz (78-rasmga qarang).
78-rasm
Bunda f(x) differensiallanuvchi va uning f′(x) hosilasi [a,b] kesmada uzluksiz deb hisoblaymiz. Berilgan [а,b] kesmani
а=х0 <х1<х2< ∙∙∙<хi-1<хi< ∙∙∙<xn=b
nuqtalar bilan ixtiyoriy n bo‘lakka ajratamiz. Natijada AB yoy n ta kichik Ai–1 Ai (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalarga ajraladi.
Agar AB yoy uzunligi l va Ai–1 Ai (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalar uzunliklari Δli deb olsak, unda
deb yozish mumkin. Endi kichik Ai–1 Ai (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalarni ularning vatari , ya’ni Ai–1Ai kesmalar bilan almashtiramiz. To‘g‘ri burchakli Ai–1AiD uchburchakda
|Ai–1D|= xi –xi–1=Δ xi , |AiD|=f(xi)–f(xi–1)=Δ f(xi)
katetlar bo‘yicha Ai–1Ai gipotenuza uzumligini Pifagor teoremasidan foydalanib topamiz:
. Bu yerda Δli ≈ |Ai–1Ai| deb, izlanayotgan yoy uzunligi l uchun ushbu taqribiy tenglikni hosil etamiz:
.
Bu taqribiy tenglikdan aniq tenglikka o‘tish uchun n→∞, Δn→0 deb olamiz. Bu holda, hosila ta’rifiga asosan, deb olish mumkin. Shu sababli yuqoridagi Ln yig‘indini funksiya uchun [a,b] kesma bo‘yicha integral yig‘indi deb qarash mumkin. Unda, aniq integral ta’rifiga asosan, izlanayotgan yoy uzunligi l uchun quyidagi formulani hosil etamiz:
. (6)
Misol sifatida y=lnsinx egri chiziqning x=π/3 va x=π/2 abssissali nuqtalari orasidagi yoyining uzunligini topamiz. Bunda y′=ctgx ekanligidan va universal almashtirmadan foydalanib, (6) formulaga asosan, ushbu natijani olamiz:
.
Agar egri chiziq x=φ(t) , y=ψ(t) ( t[α, β]) parametrik tenglamasi bilan berilgan bo‘lsa, unda dx= φ′(t)dt , dy= ψ′(t)dt va
bo‘lgani uchun (6) formula quyidagi ko‘rinishga keladi:
. (7)
Misol sifatida x=etcost , y=etsint (t[0,lnπ]) parametrik tenglamasi bilan berilgan egri chiziq yoyi uzunligini topamiz.
Adabiyotlar ro’yxati
Соатов Ё.У Олий математика. Т., Ўқитувчи, 1995. 1- 5 қисмлар.
Н.М.Жабборов, Э. «Олий математика». 1-2 қисм. Қарши, 2010.
Латипов Х.Р., Таджиев Ш. Аналитик геометрия ва чизиқли алгебра. Тошкент, "Ўзбекистон". 1995.
|
