Referat fənn: Ekoloji proseslərin modelləşdirilməsi İxtisas: Ekologiya mühəndisliyi Qrup: M1433aE

Müasir biologiya riyaziyyatın bütün bölmələrindən aktiv istifadə edir: ehtimal nəzəriyyəsi və statistika; diferensial tənliklər nəzəriyyəsi; oyunlar nəzəriyyəsi.

Bununla belə bəzən öncədən statistik qanunauyğunluq şəklində kəmiyyətlər haqqında qabaqcadan xəbər vermək olur. Ayrı-ayrı hallarda məsələn, biotexnologiyada, riyazi modellər texnikada olduğu kimi, istehsalatın optimal rejimlərinin tərtib edilməsi üçün istifadə olunur.

Birinci – reqressiya modelləri, hansı ki, öyrənilən proseslərin mexanizmin açıqlanmasına tələb etməyən empirik təyin edilmiş asılılıqları (formulalar, diferensial və fərq tənliklər, statistik qanunlar) daxil edir.

burada i-ölçmə nöqtəsinin nömrəsidir; x_e – dəyişənlərin qiymətləri; x_t – dəyişənlərin nəzəri qiymətləri; a₁,a₂ – qiymətə aid olan parametrlər; w_i – i ölçüsünün “çəkisi”; n – ölçmə nöqtələrinin sayı.

II sinif - bir qayda olaraq obyekt haqqında əldə olan informasiyanı maksimal dərəcədə nəzərə alan konkret mürəkkəb canlı sistemlərin imitasiya modelləridir. İmitasiya modelləri canlı modellərin müxtəlif səviyyədə təşkilinin obyektlərin təsviri üçün istifadə olunur, yəni biomakromolekuldan biohesenoz modellərinə qədər. Sonuncu halda modellərə “canlı” eləcə də “hərəkətsiz” komponentləri təsvir edən bloklar daxil edilməlidir (bax, riyazi ekologiya). Imitasiya modellərinin klassik nümunəsi biomakromolekulların və onların bir-birinə təsiri qanunlarını təşkil edən koordinatlar və bütün atomların impulsları verilən molekulyar dinamika modelləridir. Komputerdə hesablanan sistemin “həyat” şəkli, ən sadə bioloji obyetlərin biomakromolekul və onun ətraf mühit fəaliyyətində fizika qanunlarının həyata keçirilməsini müşahidə etməyə imkan verir. Oxşar modellər hansılar ki, elementləri (kərpicləri) artıq atomlar yox, atom qrupları təşkil edir, müasir texnikada biotexnoloji katalizatorların komputerləşməsində və dərman preparatlarında, hansılar ki, mikroorqanizmlərin membran qruplarına təsir edən viruslarda və ya başqa məqsədlərdə istifadə olunur. Imitasiya modelləri həyati vacib orqanlarda: əsəb liflərində, ürəkdə, beyində, mədə-bağırsaq sistemində, qan dövranında baş verən fizioloji proseslərin təşkili üçün yaradılıb. Onların vasitəsilə müxtəlif patalogiyada və norma zamanında keçən proseslərin “ssenari”si qurulur, və müxtəlif xarici proseslərin, o cümlədən dərman məhsullarının təsiri tədqiqi edilir. Imitasiya modellərindən bitkilərin hasilat proseslərinin təsviri üçün, bitkilərin yetişdirilməsi zamanı bol məhsul almaq məqsədi ilə, optimal rejimin hazırlanması və ya məhsul yetişdirilməsi vaxtının bərabər bölüşdürülməsi üçün geniş istifadə edilir. Bahalı və enerji işlədən bağlı yetişdirmə təsərrüfatları üçün bu modellər daha vacibdir.
Bioekoloji proseslərin modelləşdirilməsində keyfiyyətli modellər
Hər bir elmdə sadə modellər mövcuddur, hansılar ki, analitik araşdırmaların təsiri altına düşür və bir çox təbiət hadisələrinin spektrini təsvir etməyə imkan verən xassələrə malikdir. Belə modellərə təməl modelləri deyilir. Fizikada klassik baza modelləri harmonik ossilyatordur (sürtünməsiz yayı olan kürəcik-materiya nöqtəsi). Təməl modelləri bir qayda olaraq müxtəlif modifikasiyalarda tədqiq edilir. Osilyator halında kürəcik qatı mühitdə ola bilər, təsadüfi və ya dövri təsirləri hiss edə bilər, məsələn, enerjinin çəkilməsi və s.

Belə təməl modellərində proseslərin mahiyyətinin təsnifatı riyazi şəkildə öyrənildikdən sonra, daha da mürəkkəb real sistemlərdə baş verən hadisələr analoji olaraq aydın olur. Məsələn, biomakromolekulların konformasiya halının relaksasiyasına analoji olaraq astilyatorların qatı mühitdə olduğu kimi baxılır. Beləliklə, sadəliyi və aydınlığına görə təməl modelləri müxtəlif sistemlərin öyrənilməsi zamanı son dərəcə xeyirlidir.

Müxtəlif səviyyədə təşkil edilmiş bütün bioloji sistemlər biomakromolekullardan başlayaraq populyasiyaya qədər enerji və maddə axını üçün açıq olan qeyri-tarazlı termodinamiklərdirlər. Buna görə də qeyri-xəttilik riyazi biologiyanın təməl sisteminin ayrılmaz xassəsidir. Canlı sistemlərin müxtəlifliyinə baxmayaraq onlara xas olan bəzi vacib keyfiyyət xassələrini seşmək olar: artım, artımın özünüməhdudlaşdırması, keçid qabiliyyəti – 2 və ya bir neçə stasionar rejimlərdə mövcudluğu, avtorəqs rejimləri (bioritmlər), fəzada qeyrioxşarlıq, kvazistoxactiklik. Bütün bu xassələri riyazi biologiyanın təməl modelləri rolunda oynayan nisbətən sadə qeyri-xətti, dinamik modellərdə göstərmək olar.
Bioekoloji proseslərdə qeyri-məhdud artım.

Eksponensial artım. Avtokataliz
Istənilən modellərin əsasını bəzi fərziyyələr təşkil edir. Bu fərziyyələr əsasında qurulmuş model müstəqil riyazi obyektə çevrilir, hansını ki, riyazi üsul arsenalı vasitəsilə öyrənmək olar. Modelin dəyəri - modelin xüsusiyyətinin modelləşdirilən obyektin xassələrinə nə qədər uyğun gəlməsi ilə müəyyən edilir. Bütün artım modellərinin əsas fərziyyələrindən biri – populyasiya sayının artım sürətinin mütənasibliyidir, (fərq etməz) dovşan və ya hüceyrə populyasiyaları. Bu fərziyyənin əsasında o hamıya məlum olan fakt durur ki, canlı sistemin ən vacib xüsusiyyəti onların artım qabiliyyətidir. Bir çox hüceyrə toxumlarının tərkibinə daxil olan hüceyrə və ya birhüceyrəli orqanizmlər üçün sadəcə bölünmədir.

Bölünmənin xarakterik vaxtı adlanan müəyyən vaxt intervalından sonra hüceyrələrin sayının artımı baş verir. Mürəkkəb təşkil olunmuş heyvan və bitkilər üçün artım bir qədər çətin qanunla baş verir, amma sadə modeldə fərz etmək olar ki, növün artım sürəti bu növün sayına mütənasibdir. Riyazi şəkildə bu x dəyişəninə nisbətən xətti populyasiyada fərqin sayını (toplamanı) səciyyələndirən aşağıdakı diferensial tənliyin köməyi ilə yazılır:

burada R – ümumi halda nəinki sayın özünün, eləc də vaxtın fuksiyası ola bilər və ya başqa daxili və xarici amillərdən asılı ola bilər.

Populyasiyanın sayına olan artım sürətinin mütənasibliyi fərziyyəsini hələ XVIII əsrdə Tomas Robert Maltus (1766-1834) “Əhalinin artımı” (1798) haqqında kitabında demişdir. (1) qanununa görə əgər mütənasiblik kəmiyyəti R=r=const olarsa (Maltos fərziyyəsinə görə) onda say eksponent üzrə qeyri-məhdud artacaq.

Öz işlərində Maltus bu qanunun nəticələrini o nöqteyi-nəzərdən izah edir ki, ərzaqların və başqa məhsulların istehsalı xətti şəkildə artır və beləliklə, eksponensial artan populyasiya aclığa məhkumdur. Bir çox populyasiya üçün məhdudlaşdırıcı amillər mövcuddur və müxtəlif səbəblərə görə populyasiyanın artımı dayanır. Yeganə istisna insan populyasiyasıdır, hansı ki, bütün tarixi vaxt ərzində eksponentə nisbətən artır (bax: riyazi ekologiya, insan sayının artımı bölməsi). Maltus araşdırmaları nəinki iqtisadiyyatçılara, eləcə də bioloqlara böyük təsir göstərmişdir. O cümlədən Carlz Darvin öz gündəliklərində yazır ki, Maltus modelinin əsasında olan fərziyyə və populyasiyanın sayının artım sürətinə mütənasibliyi çox inandırıcı təsvir olunub və buradan sayın qeyri-məhdud eksponensial artımı alınır. Eyni zamanda – təbiətdə heç bir populyasiya sonsuzluğa qədər artmır. Deməli, bu artıma mane olan səbəblər mövcuddur, bu səbəblərdən birini Darvin növlərin mövcudiyyət mübarizəsində görür.

Eksponensial artım qanunu toxumalarda hüceyrələrin, bakteriyaların, yosunların, populyasiyası üçün müəyyən artım mərhələsində uyğundur. Modellərdə kəmiyyətin dəyişiklik sürətinin həmin kəmiyyətin çoxalması ilə artmasını təsvir edən riyazi ifadə avtokatalitik üzv (avto-özü, kataliz-reaksiya sürətinin modifikasiyası, adətən reaksiyada iştirak etməyən maddələrin köməyi ilə tezlik) adlandırılır. Beləliklə, avtokataliz – reaksiyanın “özünütezləşməsidir”.

Bioekoloji proseslərdə məhdud artım. Ferxülst tənliyi
Məhdud artımı təsvir edən baza modeli Ferxülst modeli adlanır.

(2)

burada k – populyasiya həcmi və sayı (və ya toplanma vahidləri ilə ifadə edilir). O heç bir sadə fizioloji və ya bioloji məna daşımır və sistem xüsusiyyəti daşıyır, yəni bir sıra müxtəlif səbəblərə görə müəyyən olunur, səbəblərin içərisində mikroorqanizm üçün substrat sayına olan məhdudiyyət, hüceyrə toxumalarının populyasiyası üçün əlverişli həcm, qida təməli və ya ali heyvanlar üçün sığınacaqlardır.

(2) tənliyinin sağ hissəsinin x sayına olan və populyasiya sayının zamandan asılılıqlarının qrafiki

Şək. 1. Məhdud artım. Artım sürətinin miqdarının saydan (a) və

sayın zamandan (b) məntiqi tənliklə asılılığı
Son onilliklərdə Ferxülst tənliyi cavanlığının ikinci hissəsini yaşayır. (2) tənliyinin kəsikli analoqunun öyrənilməsi tamam yeni və qəribə xassələrini aşkar edir.

Zamanın ardıcıl anlarında populyasiyanın sayına baxaq. Bu fərdlərin və ya hüceyrələrin yenidən hesablama real üsuluna uyğun gəlir. Ən sadə halda sayın zaman addımında olan n+1 nömrəsini əvvəlki n addımındankı say şəklində yazmaq olar:

Şəkil 2. Növbəti addımda olan sayın əvvəlki addımda olan saydan asılılıq funksiyasıi (a) və parametrin müxtəlif qiymətlərində sayın zamandan asılı olan hərəkəti (b)

1 – məhdud artım; 2 – dəyişkən; 3 - xaos
Hərəkətin tipi artım sürəti r olan xüsusi sabit kəmiyyətdən asılıdır. Zamanın verilmə anı (t+1) qiymətinin əvvəlki t zaman anınındakı sayın qiymətindən asılılığının görünüşünü təsvir edən əyrilər şək. 2-nin sol tərəfində göstərilib.

Sağ tərəfdə sayın dinamik əyriləri, yəni populyasiyadakı fərdlərin sayının zamandan asılılıqları təsvir edilib. R artımınınm xüsusi sürətinin qiyməti yuxarıdan aşağıya doğru artır.

Sayın dinamikasının xüsusiyyəti F(t+1)-in F(t)-dən asılılıq əyrisinin forması ilə müəyyən olunur. Bu əyridə sayın özünün, sayın artım sürətinin dəyişkənliyi əks edilib. Şəkil 2-nin sol tərəfində göstərilmiş bütün əyrilər üçün bu sürət kiçik say zamanı artır və azalır, sonra isə böyük say zamanı sıfra çevrilir. Populyasiyanın artım əyrisinin dinamik forması kiçik say zamanı artımın nə qədər tez baş verməsindən asılıdır, yəni törəmənin sıfırda (bu əyrinin əyilmə tangensi) olması ilə müəyyən olunur. Hansı ki, r əmsalı (artımın xüsisi sürətinin kəmiyyəti) ilə müəyyən edilir. Bir qədər kiçik üçün populyasiya sayı sabit tarazlığa yönəlir. Sol tərəfdəki qrafik bir qədər kəskin artanda sabit tarazlıq sabit dövrə keçir. Say artdıqca dövrün uzunluğu da artır və sayın qiymətləri 2,4,8,...,2ⁿ nəsillərdən sonra təkrar olunur. kəmiyyət miqdarında həllin nizamsızlığı baş verir. Kifayət qədər böyük r zamanı sayın dinamikası qarışıq quruluşu nümayiş etdirir. (həşəratların sayının partlayışı).

Belə tip tənliklər mövsümlə artan, nəsli kəsilməyən həşəratların say dinamikasını qənaətbəxş təsvir edirlərir. Bununla belə, kvazistoxastik hərəkəti nümayiş etdirən bəzi populyasiyanın kifayət qədər sadə ölçülərinin xüsusiyyətləri müntəzəm xarakter daşıyırlar. Bəzi mənada populyasiya hərəkəti nə qədər nizamsızdır, bir o qədər öncədən məlumdur. Məsələn, böyük x zamanında partlayışın amplitudası bilavasitə partlayışlar arası zamana proporsionaldır.

Burada kəsikli təsvir ən müxtəlif təbiət sistemləri üçün səmərəli oldu. Səthdə koordinatlarında sistemin dinamik hərəkətinin təsviri aparatı, nəzarət olunan sistemin rəqsli və ya kvazistoxastik olduğunu müəyyən etməyə imkan verir. Məsələn, elektrokoordioqram verilənlərin təsvirini müəyyən etməyə imkan verdi, insan ürəyinin normada yığılması qeyri-müntəzəm xarakter daşıyır, stenokardiya tutması və ya infakt qabağı vəziyyət zamanı yığılma ritmi kəskin müntəzəm olur. Rejimin belə “amansızlığı” stress vəziyyətində orqanizmin qoruyucu reaksiyasıdır və sistemin həyat təhlükəliyini göstərir.

Qeyd edək ki, fərqli tənliklərin həlli, istənilən real bioloji proseslərin modelləşməsi əsasındadır. Fərqli tənliklərin model trayektoriyasının dinamik hərəkətinin zənginliyi mürəkkəb təbiət hadisələrinin təsvirində onların uğurlu tətbiqinin əsasıdır. Bununla belə, müəyyən tip rejimli mövcudluğun parametrik sahələrinin məhdudluğu, təklif olunan modelin adekvatlıq qiyməti üçün əlavə binövrə kimi xidmət edir.

Əgər (3) tənliyini aşağıdakı şəkildə yazsaq, bir qədər də maraqlı obyekt alınır:

(4)

və c sabit kəmiyyətinə kompleks sahədə baxaq. Buradan, Mandelbrot çoxluğu adlı obyektlər alınır (misal şək.3-də göstərilib). Bu çoxluqlar haqqında tam təfsilatıla “Fraktal gözəlliyi” adlı kitabda oxumaq olar (Dinamik kompleks sistemlərinin surətləri) , orada onların çoxsaylı gözəl təsvirləri verilmişdir.

Şək.3. xx²+c prosesi üçün kompleks müstəvidə Mandelbrot çoxluğunun təsviri. Absis oxu – Re c, ordinat oxu Im c. Təsvir olunmuş fiqur fraktal quruluşa malikdir, əsas cəhəti özünəoxşarlığıdır.
Bu obyektlərin dərin mənalı bioloji izahı varmı və ya bu sadəcə baza (təməl) sistemin bizə təqdim etdiyi “Surprizidir”?. Hələki, bu suala qəti cavab yoxdur.